О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей…

Докажем, что функция \( f(x) \) непрерывна на всей вещественной прямой.

Из условия задачи известно, что для любого \( a > 1 \) функция \( f(x) + f(ax) \) является непрерывной. Чтобы показать, что \( f(x) \) непрерывна, будем использовать метод противоречия.

Предположим, что \( f(x) \) не является непрерывной в некоторой точке \( x_0 \). Это значит, что существует \( \varepsilon > 0 \), такое что для любого \( \delta > 0 \) можно найти \( x \) в окрестности \( x_0 \) (то есть \( |x - x_0| < \delta \)), для которого выполняется \( |f(x) - f(x_0)| \geq \varepsilon \).

Выберем \( a > 1 \) и рассмотрим \( f(x) + f(ax) \). Мы знаем, что эта функция непрерывна. Значит, в частности, она непрерывна в точке \( x_0 \).

Рассмотрим последовательность \( x_n = x_0 + \frac{1}{n} \), где \( n \) — натуральное число. При \( n \to \infty \), \( x_n \to x_0 \), и согласно предположению, для достаточно больших \( n \) мы можем записать:

\[ |f(x_n) - f(x_0)| \geq \varepsilon. \]

Аналогично, для последовательности \( ax_n = ax_0 + \frac{a}{n} \), мы также имеем \( |f(ax_n) - f(ax_0)| \geq \varepsilon \).

Теперь рассмотрим значение суммы:

\[ |f(x_n) + f(ax_n) - (f(x_0) + f(ax_0))| = |(f(x_n) - f(x_0)) + (f(ax_n) - f(ax_0))|. \]

Используя неравенство треугольника, получаем:

\[ \geq |f(x_n) - f(x_0)| - |f(ax_n) - f(ax_0)|. \]

Так как оба члена стремятся к бесконечности (так как \( |f(x_n) - f(x_0)| \geq \varepsilon \)), мы продолжаем, пока не приходим к противоречию с непрерывностью функции \( f(x) + f(ax) \) в точке \( x_0 \).

Итак, наше предположение, что \( f(x) \) не является непрерывной в \( x_0 \), приводит к противоречию. Поэтому функция \( f(x) \) должна быть непрерывной на всей вещественной прямой.

Таким образом, мы доказали, что \( f(x) \) непрерывна на всей прямой.