решите неравенство 4/x ≤ 4-x В ответе запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6; 6]
Чтобы решить неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), начнем с приведения всё к одной стороне:
Умножим обе стороны неравенства на \( x \) (при этом учтем, что при \( x < 0 \) знак неравенства изменится): \[ 4 \leq (4 - x)x \] Это можно переписать: \[ 4 \leq 4x - x^2 \] или \[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]
Упрощаем: \[ (x - 2)^2 \leq 0 \] Это неравенство выполнено только когда \( (x - 2)^2 = 0 \), то есть \( x = 2 \).
Теперь обратим внимание на условия, связанные с областью определения исходного неравенства. Мы должны исключить \( x = 0 \), так как деление на ноль невозможно.
- Теперь проверим знак неравенства в интервалах, определенных критическими точками:
- При \( x < 0 \) (например,берите \( x = -1 \)): \( \frac{4}{-1} \leq 4 - (-1) \) → \( -4 \leq 5 \) (истинно).
- При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{4}{1} \leq 4 - 1 \) → \( 4 \leq 3 \) (ложно).
- При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( \frac{4}{3} \leq 4 - 3 \) → \( \frac{4}{3} \leq 1 \) (ложно).
Таким образом, решение неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \) — это точка \( x = 2 \) и интервал \( (-\infty; 0) \).
Теперь рассмотрим целые решения в промежутке \([-6; 6]\):
- Целые числа в \([-6; 6]\): \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Из этого списка подходят:
- Все целые числа меньше 0: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1\)
- И также \( x = 2 \)
Теперь найдем сумму целых решений: \[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 2 = -6 -5 -4 -3 -2 -1 + 2 = -19 \]
Таким образом, сумма целых решений неравенства в интервале \([-6; 6]\) равна \(-19\).
