Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке): A (−5; −2) и C (1; 4). Найдите координаты двух других вершин. Ответ: B (…

Чтобы найти координаты двух других вершин квадрата ABCD, воспользуемся тем, что вершины квадрата A и C являются противоположными, а значит, диагональ AC делит квадрат пополам.

1. Координаты точки A: (-5, -2) и C: (1, 4).
2. Найдем середину отрезка AC, который будет являться центром квадрата:

\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-5 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = \left( -2, 1 \right) \]

3. Теперь определим длину одной стороны квадрата с помощью расстояния между точками A и C. Длина диагонали может быть найдена по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(1 + 5)^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

Длина стороны квадрата \(s\) будет равна:

\[ s = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \]

4. Далее, чтобы найти координаты точек B и D, нам нужно определить угол поворота. Поворачиваем вектор AC на 90 градусов, чтобы получить векторы AB и AD, которые будут равны по длине 6 и перпендикулярны.

Вектор AC равен:

\[ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (1 - (-5), 4 - (-2)) = (6, 6) \]

Теперь мы можем найти перпендикулярные векторы, поворачивая на 90 градусов. Эти векторы будут:

\[ \vec{AB} = (-6, 6) \quad \text{и} \quad \vec{AD} = (6, -6) \]

5. Теперь находим координаты точек B и D, начиная от точки A:

Координаты точки B:

\[ B = A + \vec{AB} = (-5, -2) + (-6, 6) = (-5 - 6, -2 + 6) = (-11, 4) \]

Координаты точки D:

\[ D = A + \vec{AD} = (-5, -2) + (6, -6) = (-5 + 6, -2 - 6) = (1, -8) \]

Итак, координаты оставшихся вершин квадрата B и D:

Ответ: B (−11; 4); D (1; −8).