решите в натуральных числах уравнения m2=55+n2

Чтобы решить уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с передачи всех слагаемых на одну сторону:

\[ m^2 - n^2 = 55. \]

Это можно переписать в виде разности квадратов:

\[ (m - n)(m + n) = 55. \]

Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел \( (a, b) \), такие что \( a \cdot b = 55 \), где \( a = m - n \) и \( b = m + n \). Давайте найдем делители числа 55:

Делители числа 55: \( (1, 55), (5, 11) \).

Теперь для каждой пары делителей мы можем выразить \( m \) и \( n \):

1. Для делителей \( (1, 55) \): \[ m - n = 1, \quad m + n = 55. \] Складывая оба уравнения, получим: \[ 2m = 56 \Rightarrow m = 28. \] Теперь найдем \( n \): \[ 28 - n = 1 \Rightarrow n = 27. \] Таким образом, одна из пар решений: \( (m, n) = (28, 27) \).

2. Для делителей \( (5, 11) \): \[ m - n = 5, \quad m + n = 11. \] Складывая оба уравнения, получим: \[ 2m = 16 \Rightarrow m = 8. \] Теперь найдем \( n \): \[ 8 - n = 5 \Rightarrow n = 3. \] Вторая пара решений: \( (m, n) = (8, 3) \).

Таким образом, уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) имеет два решения в натуральных числах:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)