Lim 2x sin x\1-cos^2*3x x->0 lim (x+4/2+x)^1-2x x->бесконечности

Давайте разберемся с вашими пределами по очереди.

1. Первый предел:

   Вы рассматриваете предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos^2(3x)}. \] Сначала упростим знаменатель. Мы знаем, что \(1 - \cos^2(3x) = \sin^2(3x)\). Таким образом, предел переписывается как: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\sin^2(3x)}. \]

   Теперь можем использовать известные предельные значения. При \(x \to 0\), \(\sin x \approx x\) и \(\sin(3x) \approx 3x\). Следовательно: \[ \sin^2(3x) \approx (3x)^2 = 9x^2. \]

   Подставляем это в предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{9x^2}. \] Заменим \(\sin x\) на \(x\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{9x^2} = \frac{2}{9}. \]

   Таким образом, первый предел равен \(\frac{2}{9}\).

2. Второй предел:

   Теперь рассмотрим второй предел: \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{2 + x}\right)^{1 - 2x}. \]

   Начнем с упрощения выражения внутри скобок. При \(x \to \infty\), дробь \(\frac{x + 4}{2 + x}\) можно упростить, разделив числитель и знаменатель на \(x\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x}}{\frac{2}{x} + 1} = \frac{1 + 0}{0 + 1} = 1. \]

   Таким образом, под пределом у нас остается \(1^{1 - 2x}\). Однако, выражение \(1^{\infty}\) имеет неопределенный вид. Для решения этой ситуации можно воспользоваться логарифмами.

   Пусть: \[ y = \left(\frac{x + 4}{2 + x}\right)^{1 - 2x}. \]

   Применяя логарифм: \[ \ln y = (1 - 2x) \ln \left(\frac{x + 4}{2 + x}\right). \]

   Так как \(\frac{x + 4}{2 + x} \to 1\), то \(\ln \left(\frac{x + 4}{2 + x}\right) \to 0\) при \(x \to \infty\). Теперь найдем более точное значение: При помощи разложения в ряд: \[ \ln\left(\frac{x + 4}{2 + x}\right) \approx \ln \left(1 + \frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x} \text{ (при больших x)}. \]

   Подставляем обратно: \[ \ln y \approx (1 - 2x) \cdot \frac{2}{x} = \frac{2 - 4x}{x}. \]

   Теперь, принимая предел, когда \(x \to \infty\): \[ \lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - 4x}{x} = \lim_{x \to \infty} -4 = -\infty. \]

   Это означает, что \(y = e^{-\infty} = 0\).

Таким образом, второй предел равен \(0\).

Ответы:

1. \(\frac{2}{9}\)
2. \(0\)