•1. Решите уравнение: a) x3 - 81x = 0; б) x2 + 1 5 - x + 1 4 = 1. •2. Решите биквадратное уравнение х4 - 19x2 + 48 = 0. °3. При каких а значение a3 - 2a2 - 9а+ 18 равно 2 - 4…

1. Решим уравнение.

a) \( x^3 - 81x = 0 \).

Для решения этого уравнения сначала вынесем общий множитель \( x \): \[ x(x^2 - 81) = 0 \] Теперь можем решить это уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 81 = 0 \)

Решим второе уравнение: \[ x^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 9 \] Таким образом, корни уравнения: \( x = 0, x = 9, x = -9 \).

б) \( x^2 + \frac{1}{5} - x + \frac{1}{4} = 1 \).

Сначала упорядочим уравнение: \[ x^2 - x + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - 1 = 0 \] Найдем общий знаменатель для дробей: 20. Перепишем: \[ x^2 - x + \frac{4}{20} + \frac{5}{20} - \frac{20}{20} = 0 \] \[ x^2 - x - \frac{11}{20} = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -1, c = -\frac{11}{20} \).

Подставим значения: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{11}{20}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \frac{44}{20}}}{2} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{64}{20}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{8}{\sqrt{20}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{8}{2\sqrt{5}}}{2} = \frac{1 \pm 4/\sqrt{5}}{2} \] Таким образом: \[ x = \frac{1}{2} \pm \frac{2}{\sqrt{5}}. \]

2. Решим биквадратное уравнение \( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 \).

Давайте сделаем замену: \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 19y + 48 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ y = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 192}}{2} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ = \frac{19 \pm 13}{2} \] Таким образом, получаем два значения:

1. \( y_1 = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( y_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь вернемся к переменной \( x \):

1. \( x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \)
2. \( x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \)

Таким образом, корни биквадратного уравнения: \( x = 4, x = -4, x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3} \).

3. При каких значениях \( a \) выражение \( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 \) равно 0?

Для нахождения корней уравнения можно использовать метод подбора или графический метод. Проще всего подставить различные значения \( a \):

• Подставим \( a = 3 \): \[ 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 18 = 27 - 18 - 27 + 18 = 0 \] Таким образом, один корень - \( a = 3 \).

Теперь разделим многочлен \( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 \) на \( (a - 3) \) и найдем остальные корни: Используем деление многочлена, получим: \[ a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a - 3)(a^2 + Ka + L). \] В результате мы найдем остальные корни второго уравнения.

4. Найдем координаты точек пересечения графиков функций \( y = x - 2 \) и \( y = x^2 - 3x + 1 \).

Приравняем их: \[ x - 2 = x^2 - 3x + 1. \] Переносим все в одну сторону: \[ 0 = x^2 - 4x + 3. \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}. \] Таким образом, получаем два решения:

1. \( x_1 = 3 \)
2. \( x_2 = 1 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

1. \( y_1 = 3 - 2 = 1 \) при \( x_1 = 3 \)
2. \( y_2 = 1 - 2 = -1 \) при \( x_2 = 1 \)

Следовательно, координаты точек пересечения: \( (3, 1) \) и \( (1, -1) \).