1) (2x + 1) ^ 2 * (x ^ 2 - 4x + 3) > 0 2) (2x ^ 2 + 5x - 3)(2x ^ 2 - 5x + 2) ≤ 0 3) (x ^ 3 * (x + 5))/((2 - x)(x - 5)) ≥ 0 реши методом интервалов

Давайте решим эти неравенства методом интервалов.

1) \((2x + 1)^2 (x^2 - 4x + 3) > 0\)

Сначала найдем нули каждого множителя.

Первый множитель: \((2x + 1)^2\)

\[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]

Второй множитель: \(x^2 - 4x + 3\)

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 1) = 0 \]

Нули: \(x = 1\) и \(x = 3\).

Теперь у нас есть три критических точки: \(-\frac{1}{2}\), \(1\) и \(3\).

Разобьем числовую ось на интервалы:

1. \((-∞, -\frac{1}{2})\)
2. \((- \frac{1}{2}, 1)\)
3. \((1, 3)\)
4. \((3, +∞)\)

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале.

• На интервале \((-∞, -\frac{1}{2})\): Пусть \(x = -1\). \((2(-1) + 1)^2 > 0\) и \((-1)^2 - 4(-1) + 3 > 0\) ⟹ положительно.

• На интервале \((- \frac{1}{2}, 1)\): Пусть \(x = 0\). \((2(0) + 1)^2 > 0\) и \((0)^2 - 4(0) + 3 > 0\) ⟹ положительно.

• На интервале \((1, 3)\): Пусть \(x = 2\). \((2(2) + 1)^2 > 0\) и \((2)^2 - 4(2) + 3 < 0\) ⟹ отрицательно.

• На интервале \((3, +∞)\): Пусть \(x = 4\). \((2(4) + 1)^2 > 0\) и \((4)^2 - 4(4) + 3 > 0\) ⟹ положительно.

Теперь можем запишите решение:

1. \((-\infty, -\frac{1}{2})\)
2. \((- \frac{1}{2}, 1)\)
3. \((3, +\infty)\)

Ответ:

\[ (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1) \cup (3, +\infty) \]

---

2) \((2x^2 + 5x - 3)(2x^2 - 5x + 2) \leq 0\)

Сначала найдем нули каждого множителя.

Первый множитель: \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)

Используем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \Rightarrow \sqrt{49} = 7 \]

Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3 \]

Второй множитель: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)

Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \]

Найдем корни: \[ x_3 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_4 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть критические точки: \(-3\), \(\frac{1}{2}\), \(2\).

Разобьём ось на интервалы:

1. \((-∞, -3)\)
2. \((-3, \frac{1}{2})\)
3. \((\frac{1}{2}, 2)\)
4. \((2, +∞)\)

Теперь проверим знак произведения в каждом интервале.

• На интервале \((-∞, -3)\): Пусть \(x = -4\). \( (2(-4)^2 + 5(-4) - 3) > 0 \) и \((2(-4)^2 - 5(-4) + 2) > 0\) ⟹ положительно.

• На интервале \((-3, \frac{1}{2})\): Пусть \(x = 0\). \( (2(0)^2 + 5(0) - 3 < 0) \) и \((2(0)^2 - 5(0) + 2 > 0)\) ⟹ отрицательно.

• На интервале \((\frac{1}{2}, 2)\): Пусть \(x = 1\). \( (2(1)^2 + 5(1) - 3 > 0) \) и \((2(1)^2 - 5(1) + 2 < 0)\) ⟹ отрицательно.

• На интервале \((2, +∞)\): Пусть \(x = 3\). \( (2(3)^2 + 5(3) - 3 > 0) \) и \((2(3)^2 - 5(3) + 2 > 0)\) ⟹ положительно.

Теперь запишем решение с учетом нулей:

1. \([-3, \frac{1}{2}]\)
2. \([\frac{1}{2}, 2]\)

Ответ:

\[ [-3, 2] \]

---

3) \(\frac{x^3 (x + 5)}{(2 - x)(x - 5)} \geq 0\)

Находим нули числителя и знаменателя.

Числитель: \(x^3(x + 5) = 0\)

Нули: \(x = 0\) и \(x = -5\).

Знаменатель: \((2 - x)(x - 5) = 0\)

Нули: \(x = 2\) и \(x = 5\).

Теперь у нас есть критические точки: \(-5\), \(0\), \(2\), \(5\).

Разобьем ось на интервалы:

1. \((-∞, -5)\)
2. \((-5, 0)\)
3. \((0, 2)\)
4. \((2, 5)\)
5. \((5, +∞)\)

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале.

• На интервале \((-∞, -5)\): Пусть \(x = -6\). \(((-6)^3 (-6 + 5) < 0) \) и \((2 - (-6)) > 0, (-6 - 5) < 0\) ⟹ положительно.

• На интервале \((-5, 0)\): Пусть \(x = -1\). \(((-1)^3 (-1 + 5) < 0)\) и \((2 - (-1)) > 0, (-1 - 5) < 0\) ⟹ отрицательно.

• На интервале \((0, 2)\): Пусть \(x = 1\). \((1^3 (1 + 5) > 0)\) и \((2 - 1) > 0, (1 - 5) < 0\) ⟹ отрицательно.

• На интервале \((2, 5)\): Пусть \(x = 3\). \((3^3 (3 + 5) > 0) \) и \((2 - 3) < 0, (3 - 5) < 0\) ⟹ положительно.

• На интервале \((5, +∞)\): Пусть \(x = 6\). \((6^3 (6 + 5) > 0)\) и \((2 - 6) < 0, (6 - 5) > 0\) ⟹ отрицательно.

Теперь запишем решение с учетом нулей:

1. \((-∞, -5]\)
2. \([2, 5)\)

Ответ:

\[ (-∞, -5] \cup [2, 5) \]

Если есть дополнительные вопросы по этой теме или нужна помощь с другими материалами, дайте знать!