Написать уравнение нормали к кривой 4х-2ху+3у^2—4=0 в точке пересечения её с осью Ох
Чтобы найти уравнение нормали к кривой \( 4x - 2xy + 3y^2 - 4 = 0 \) в точке пересечения её с осью Ох, начнём с определения этой точки.
Найдем точки пересечения кривой с осью Ох. Это значит, что при \( y = 0 \) у нас должно быть: \[ 4x - 2x \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 - 4 = 0. \] Упростим уравнение: \[ 4x - 4 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1. \] Таким образом, точка пересечения кривой с осью Ох — это \( (1, 0) \).
Теперь необходимо найти производную \( y' \) для нахождения наклона касательной в этой точке. Дифференцируем данное уравнение неявно: \[ \frac{d}{dx}(4x - 2xy + 3y^2 - 4) = 0. \] Это дает: \[ 4 - 2y - 2x \frac{dy}{dx} + 6y \frac{dy}{dx} = 0. \] Перепишем уравнение, чтобы выразить \(\frac{dy}{dx}\): \[ 4 - 2y + \left(6y - 2x\right)\frac{dy}{dx} = 0. \] Отсюда: \[ \left(6y - 2x\right)\frac{dy}{dx} = 2y - 4. \] Следовательно, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2y - 4}{6y - 2x}. \] Подставим \( (x, y) = (1, 0) \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cdot 0 - 4}{6 \cdot 0 - 2 \cdot 1} = \frac{-4}{-2} = 2. \] Это значит, что наклон касательной в точке \( (1, 0) \) равен \( 2 \).
Наклон нормали будет противоположен наклону касательной. Таким образом, наклон нормали \( m = -\frac{1}{2} \).
Теперь используем уравнение прямой в точке \( (1, 0) \) с найденным наклоном: \[ y - y_1 = m(x - x_1), \] где \( (x_1, y_1) = (1, 0) \) и \( m = -\frac{1}{2} \): \[ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1). \] Упростим: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. \]
Таким образом, уравнение нормали к кривой \( 4x - 2xy + 3y^2 - 4 = 0 \) в точке пересечения с осью Ох равно: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}. \]
