Решите уравнение x2+ у2- 2х + 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x- 3у.

Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) преобразуем его.

1. Перепишем уравнение: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

2. Завершим квадрат для \( x \) и \( y \):

   • Для \( x \): \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 \]
   • Для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9 \]

3. Подставим обратно в уравнение: \[ (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность радиуса \( \sqrt{10} \) с центром в точке \( (1, -3) \). Поскольку мы ищем целочисленные решения, нужно найти такие целые точки \( (x, y) \), которые лежат на данной окружности.

4. Проверим возможные целые значения: \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \]

   Пусть \( a = x - 1 \) и \( b = y + 3 \), тогда у нас есть: \[ a^2 + b^2 = 10 \]

   Возможные пары \( (a, b) \), которые удовлетворяют этому уравнению:

   • \( (3, 1) \)
   • \( (1, 3) \)
   • \( (0, \pm 3) \)
   • \( (\pm 3, 0) \)
   • \( (-3, -1) \)
   • \( (-1, -3) \)
   • \( (1, -3) \)
   • \( (-1, 3) \)

Переведем это обратно к \( (x, y) \):

• \( (3+1, 1-3) = (4, -2) \)
• \( (1+1, 3-3) = (2, 0) \)
• \( (0+1, -3-3) = (1, -6) \)
• \( (0+1, 3-3) = (1, 0) \)
• \( (3+1, 0-3) = (4, -3) \)
• \( (-3+1, -1-3) = (-2, -4) \)
• \( (-1+1, 3-3) = (0, 0) \)
• \( (-1+1, -3-3) = (0, -6) \)

5. Теперь найдем значения \( x - 3y \) для целочисленных решений:

• \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)
• \( (2, 0) \): \( 2 - 3(0) = 2 \)
• \( (1, -6) \): \( 1 - 3(-6) = 1 + 18 = 19 \)
• \( (1, 0) \): \( 1 - 3(0) = 1 \)
• \( (4, -3) \): \( 4 - 3(-3) = 4 + 9 = 13 \)
• \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)
• \( (0, 0) \): \( 0 - 3(0) = 0 \)
• \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \)

6. Наибольшее из найденных значений \( x - 3y \): \[ \max(10, 2, 19, 1, 13, 10, 0, 18) = 19 \]

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно 19.