Решите уравнение x2+ у2- 2х + 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x- 3у.

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнем с преобразования уравнения.

Перепишем уравнение так, чтобы выделить полные квадраты:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь выделим полный квадрат для \( x \) и \( y \):

Для \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Для \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим все обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Теперь ищем целые решения \( (x, y) \).

Так как \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \), возможные пары \( (a, b) \), где \( a = x - 1 \) и \( b = y + 3 \), должны удовлетворять следующему:

\[ a^2 + b^2 = 10 \]

Переберем возможные целые значения для \( a \) и \( b \):

• \( (a, b) = (0, \pm3) \) → \( (1, 0) \) или \( (1, -6) \)
• \( (a, b) = (\pm1, \pm3) \) → \( (2, 0) \), \( (2, -6) \) или \( (0, 0) \) или \( (0, -6) \)
• \( (a, b) = (\pm3, \pm1) \) → \( (4, -2) \), \( (4, -4) \), \( (-2, -2) \), \( (-2, -4) \)

Теперь вычислим соответствующие \( x \) и \( y \):

1. \( (0, 3) \): \( x = 1, y = 0 \) → \( x - 3y = 1 - 3 \cdot 0 = 1 \)
2. \( (0, -3) \): \( x = 1, y = -6 \) → \( x - 3y = 1 - 3 \cdot (-6) = 1 + 18 = 19 \)
3. \( (1, 3) \): \( x = 2, y = 0 \) → \( x - 3y = 2 - 3 \cdot 0 = 2 \)
4. \( (1, -3) \): \( x = 2, y = -6 \) → \( x - 3y = 2 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20 \)
5. \( (3, 1) \): \( x = 4, y = -2 \) → \( x - 3y = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10 \)
6. \( (3, -1) \): \( x = 4, y = -4 \) → \( x - 3y = 4 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16 \)

Теперь находим максимальное значение среди всех полученных:

• \( 1, 19, 2, 20, 10, 16 \)

Наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( \boxed{20} \).