На доске написан многочлен Р (x) = 3х2 - 2 x + 8, вместо х подставили в него Р(х), получили Р(Р(x)), и так далее получили Р(Р(Р(....Р(х)) ...) (всего 10 букв Р в записи). Найдите сумму коэффициентов полученного многочлена.

Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена, необходимо подставить \( x = 1 \) в многочлен.

Исходный многочлен \( P(x) = 3x^2 - 2x + 8 \).

Подставим 1 в \( P(x) \):

\[ P(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8 = 3 - 2 + 8 = 9. \]

Теперь мы берем \( P(1) = 9 \) и подставляем его обратно в \( P(x) \) для следующего шага:

\[ P(P(1)) = P(9) = 3(9)^2 - 2(9) + 8. \]

Вычислим \( P(9) \):

\[ P(9) = 3 \cdot 81 - 18 + 8 = 243 - 18 + 8 = 233. \]

Теперь подставляем полученное значение 233 в многочлен:

\[ P(P(P(1))) = P(233) = 3(233)^2 - 2(233) + 8. \]

Для подсчета \( P(233) \):

\[ 233^2 = 54289, \] \[ P(233) = 3 \cdot 54289 - 2 \cdot 233 + 8 = 162867 - 466 + 8 = 162409. \]

Каждый раз при подстановке результата в \( P(x) \) мы будем оставаться с многочленом следующего значения, которое будет увеличиваться. Тем не менее, заметим, что значение будет расти, так как каждый раз мы умножаем на 3 и добавляем постоянные значения.

Вместо того чтобы продолжать вычисления вручную, мы заметим, что сумма коэффициентов многочлена \( P(P(P(...))) \) всегда будет равна \( P(1) \), когда мы подставляем 1. Поскольку мы проводим 10 итераций \( P \):

\[ P^{(n)}(1) = P(P(...P(1)...)), \]

это значение стремится к числу, полагая, что на каждом шаге мы увеличиваем его. У нас 10 составных операций и из-за того что коэффициенты не уменьшаются, мы получим большой результат.

Но сумма коэффициентов каждого из \( P(1) \) повторяется. Исходно у нас \( 9 \).

Итак, на каждом шаге, учитывая, что \( P(1) \) остается фиксированным и не приведет к проблемам, результат будет 9 изначально.

Таким образом, сумма коэффициентов многочлена, полученного после 10 итераций, равна:

\[ \boxed{9}. \]