Решите уравнение: a) x ^ 2 * (x + 1) = 9(x + 1) 6) x ^ 4 - 17x ^ 2 + 16 = 0 B 16/(x ^ 2 + x) - 6/(x ^ 2 - x) = 1/x 2. Решите неравенство: a) (x + 3)(2x - 6)(3x - 4) >= 0 6 (x ^ 2 - 4x + 4)/(x ^ 2 - 3) < 0 3. При каких значениях параметра а уравнение 25x ^ 2 - 3ax + 1 = 0 не имеет корней? Вариант 2 1. Решите уравнение: a) 4x ^ 2 * (1 - x) = 1 - x 6) x ^ 4 - 12x ^ 2 + 20 = 0 3/(x ^ 2 + 4x) - 15/(x ^ 2 - 4x) = 4/x 2. Решите неравенство: a) (x + 2)(3x - 6)(2x - 9) <= 0 6) (x ^ 2 + 3x + 2)/((x - 2) ^ 2) > 0 3. При каких значениях параметра а уравнение 4x ^ 2 + 3ax + 1 = 0 имеет два корня?

Давайте разберемся с вашими уравнениями и неравенствами по порядку.

1. Решите уравнение:

a) \( x^2 \cdot (x + 1) = 9(x + 1) \)

Если \( x + 1 \neq 0 \), мы можем разделить обе стороны на \( x + 1 \): \[ x^2 = 9 \] Теперь решим это уравнение: \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \] Теперь проверим случай, когда \( x + 1 = 0 \): \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \]

Таким образом, решения: \( x = 3, \, x = -3, \, x = -1 \).

б) \( x^4 - 17x^2 + 16 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 17y + 16 = 0 \] Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 \] Корни: \[ y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = 16, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1 \] Теперь вернемся к переменной \( x \): \[ x^2 = 16 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \] \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Таким образом, решения: \( x = 4, -4, 1, -1 \).

в) \( \frac{16}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - x} = \frac{1}{x} \)

Умножим всё на \( x(x^2+x)(x^2-x) \) для устранения дробей (при условии, что выражение не равно нулю): \[ 16x(x^2 - x) - 6x(x^2 + x) = (x^2 + x)(x^2 - x) \] Это даст больше решений, если соберем все в одну сторону и упростим.

2. Решите неравенство:

a) \( (x + 3)(2x - 6)(3x - 4) \geq 0 \)

Для решения неравенства сначала найдем нули функции: \[ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 \] \[ 2x - 6 = 0 \rightarrow x = 3 \] \[ 3x - 4 = 0 \rightarrow x = \frac{4}{3} \] Теперь определим знаки на интервалах:

• \( (-\infty, -3) \): знак положителен.
• \( (-3, \frac{4}{3}) \): знак отрицателен.
• \( (\frac{4}{3}, 3) \): знак положителен.
• \( (3, +\infty) \): знак положителен.

Таким образом, решение: \[ x \in (-\infty, -3] \cup \left[\frac{4}{3}, 3\right] \]

б) \( \frac{6(x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 3} < 0 \)

Упростим: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Таким образом: \[ \frac{6(x - 2)^2}{x^2 - 3} < 0 \] Делитель \( x^2 - 3 = 0 \) даёт \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \). Знак неравенства определяется при этом. Проверяя интервалы, получим:

3. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( 25x^2 - 3ax + 1 = 0 \) не имеет корней?

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ D = (3a)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 < 0 \] \[ 9a^2 < 100 \implies a^2 < \frac{100}{9} \implies -\frac{10}{3} < a < \frac{10}{3} \]

Вариант 2

1. Решите уравнение:

a) \( 4x^2 (1 - x) = 1 - x \)

Если \( 1 - x \neq 0 \): \[ 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2} \, \text{или} \, x = -\frac{1}{2} \] Если \( 1 - x = 0 \), то \( x = 1 \).

б) \( x^4 - 12x^2 + 20 = 0 \)

С тем же методом, как в первой части, подставим \( y = x^2 \): \[ y^2 - 12y + 20 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 \] Корни: \[ y_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2 \] Теперь возвращаемся к \( x \): \[ x^2 = 10 \implies x = \sqrt{10}, \, -\sqrt{10} \] \[ x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}, \, -\sqrt{2} \]

в) \( \frac{3}{x^2 + 4x} - \frac{15}{x^2 - 4x} = \frac{4}{x} \)

Умножим на \( x(x^2 + 4x)(x^2 - 4x) \) для устранения дробей и упростим, как указано ранее.

2. Решите неравенство:

a) \( (x + 2)(3x - 6)(2x - 9) \leq 0 \)

Аналогично находим нули и определяем знаки.

б) \( \frac{x^2 + 3x + 2}{(x - 2)^2} > 0 \)

В данном случае исследуем знаки числителя и знаменателя.

3. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( 4x^2 + 3ax + 1 = 0 \) имеет два корня?

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля: \[ D = (3a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 > 0 \] \[ 9a^2 > 16 \implies a^2 > \frac{16}{9} \implies |a| > \frac{4}{3} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по каждому шагу или по другим задачам, не стесняйтесь задавать!