(x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2)

Чтобы решить уравнение \((x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2)\), начнём с раскрытия скобок и упрощения каждого из частей уравнения.

1. Раскроем левую часть уравнения: \[ (x-1)(x^2+4x+4) = x(x^2+4x+4) - 1(x^2+4x+4) = x^3 + 4x^2 + 4x - (x^2 + 4x + 4) \] После упрощения: \[ = x^3 + 3x^2 + 0x - 4 = x^3 + 3x^2 - 4 \]

2. Теперь раскроем правую часть уравнения: \[ 4(x+2) = 4x + 8 \]

3. Теперь приравняем обе части уравнения: \[ x^3 + 3x^2 - 4 = 4x + 8 \]

4. Переносим все термины в одну сторону: \[ x^3 + 3x^2 - 4 - 4x - 8 = 0 \] Это упрощается до: \[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение \(x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0\). Для нахождения корней мы можем попробовать подставить различные целые значения \(x\).

Попробуем, например, \(x = 2\): \[ 2^3 + 3(2^2) - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 \] Таким образом, \(x = 2\) является корнем.

Теперь мы можем разделить кубическое уравнение на \((x - 2)\) с помощью деления многочленов или применения синтетического деления. После деления, мы найдем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или другими способами.

1. Делаем деление: \[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6) \]

2. Решаем квадратное уравнение \(x^2 + 5x + 6 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 \]

3. Теперь находим корни: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-5 \pm 1}}{2} \] Это даёт нам: \[ x_1 = \frac{{-4}}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{{-6}}{2} = -3 \]

Таким образом, полные корни вашего уравнения: \[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = -3. \]

Если возникнут дополнительные вопросы по этому решению или другим темам, не стесняйтесь обращаться!