Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), где \( c \) — гипотенуза. Из условия задачи известно, что \( c = 13 \) см.
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство: \[ a^2 + b^2 = c^2. \] Подставим значение \( c \): \[ a^2 + b^2 = 13^2 = 169. \]
Теперь согласно условию, если один из катетов, например \( a \), увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см, она станет равна 15 см. Таким образом, мы можем записать новое уравнение: \[ (a + 4)^2 + b^2 = 15^2. \] Теперь подставим значение для гипотенузы: \[ (a + 4)^2 + b^2 = 225. \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a^2 + b^2 = 169, \)
- \( (a + 4)^2 + b^2 = 225. \)
Решим второе уравнение: \[ (a + 4)^2 + b^2 = 225, \] раскроем скобки: \[ a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225. \]
Заменим \( b^2 \) из первого уравнения: \[ a^2 + 8a + 16 + (169 - a^2) = 225. \] Сокращаем \( a^2 \): \[ 8a + 16 + 169 = 225. \] Соберем все известные значения в одну сторону: \[ 8a + 185 = 225. \] Теперь вычтем 185 из обеих сторон: \[ 8a = 40. \] Разделим на 8: \[ a = 5. \]
Теперь подставим \( a = 5 \) в первое уравнение, чтобы найти \( b \): \[ 5^2 + b^2 = 169, \] \[ 25 + b^2 = 169. \] Вычтем 25 из обеих сторон: \[ b^2 = 144, \] \[ b = 12. \]
Таким образом, катеты треугольника равны: \[ a = 5 \text{ см и } b = 12 \text{ см.} \]
