Пересекаются ли графики функции y=3x² и y=5-2x?
Чтобы определить, пересекаются ли графики функций \(y = 3x^2\) и \(y = 5 - 2x\), нам нужно найти точки их пересечения. Для этого мы приравняем функции друг к другу:
\[ 3x^2 = 5 - 2x \]
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) можно рассчитать по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем уравнении \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -5\). Теперь подставим значения в формулу:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) \] \[ D = 4 + 60 \] \[ D = 64 \]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), это означает, что у уравнения есть два различных решения. Это говорит о том, что графики функций пересекаются в двух точках.
Теперь, чтобы найти сами точки пересечения, можно использовать квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm 8}{6} \]
Теперь рассчитаем два значения для \(x\):
- \(x_1 = \frac{6}{6} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\) для точек пересечения, подставим полученные \(x\) в одно из уравнений, например, во вторую функцию:
Для \(x_1 = 1\): \[ y = 5 - 2 \cdot 1 = 3 \]
Для \(x_2 = -\frac{5}{3}\): \[ y = 5 - 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 5 + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} \]
Итак, графики функций пересекаются в точках \((1, 3)\) и \(\left(-\frac{5}{3}, \frac{25}{3}\right)\).
