Площадь прямоугольного треугольника равна 15, а сумма его катетов равна 11. Найдите его периметр.

Для решения данной задачи начнем с формул для площади прямоугольного треугольника и его периметра.

1. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника выражается как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. У нас есть условие, что \( S = 15 \). Поэтому: \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 15 \implies a \cdot b = 30 \]

2. Также нам известно, что сумма катетов равна 11: \[ a + b = 11 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a \cdot b = 30 \)
2. \( a + b = 11 \)

Можно выразить один катет через другой. Например, выразим \( b \): \[ b = 11 - a \]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение: \[ a \cdot (11 - a) = 30 \] \[ 11a - a^2 = 30 \implies a^2 - 11a + 30 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1 \]

Теперь находим корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 1}{2} \] Первый корень: \[ a_1 = \frac{12}{2} = 6 \] Второй корень: \[ a_2 = \frac{10}{2} = 5 \]

Таким образом, даны катеты:

• \( a = 6, b = 5 \) или наоборот (\( a = 5, b = 6 \)).

Теперь найдем периметр треугольника. Периметр \( P \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ P = a + b + c \] где \( c \) — гипотенуза. Найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \]

Теперь подставим все значения в формулу для периметра: \[ P = 6 + 5 + \sqrt{61} = 11 + \sqrt{61} \]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника составляет \( 11 + \sqrt{61} \).