Найти наибольшее значение функции y=\left(y=\sqrt{-15-16\,x-x^{2}}\right)'_{x}{\small\; y=y\left(x\right)}
Для поиска наибольшего значения функции \( y = \sqrt{-15 - 16x - x^2} \), сначала важно определить область определения этой функции. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, мы должны решить неравенство:
\[ -15 - 16x - x^2 \geq 0. \]
Это эквивалентно выражению:
\[ -(x^2 + 16x + 15) \geq 0, \]
или
\[ x^2 + 16x + 15 \leq 0. \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 16x + 15 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196. \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляя значения, получаем:
\[ x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 \pm 14}{2}. \]
Следовательно, корни:
\[ x_1 = \frac{-2}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{-30}{2} = -15. \]
Таким образом, у нас есть два корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -15 \). Парабола, заданная уравнением, направлена вверх (так как коэффициент перед \( x^2 \) положительный), значит, она принимает неотрицательные значения на интервале между корнями, то есть на \( [-15, -1] \).
Теперь мы можем найти максимальное значение функции \( y \):
Подставляем крайние точки интервала в функцию \( y \):
Для \( x = -15 \): \[ y = \sqrt{-15 - 16(-15) - (-15)^2} = \sqrt{-15 + 240 - 225} = \sqrt{0} = 0. \]
Для \( x = -1 \): \[ y = \sqrt{-15 - 16(-1) - (-1)^2} = \sqrt{-15 + 16 - 1} = \sqrt{0} = 0. \]
Дерivative точки \( y \) не может быть найдена в этом контексте, но на промежутке между \( -15 \) и \( -1 \), давайте найдём точку, в которой производная функции (если рассматривать ее в производной форме) равна нулю.
Посчитаем производную от \( y \) (пользуясь правилом дифференцирования корня):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{-15 - 16x - x^2} \right). \]
Чтобы найти экстремумы функции \( y \), мы можем установить производную, равную нулю и решать соответствующее уравнение.
На данной области определения максимальное значение функции \( y \) будет равно \( 0 \) в обеих крайних точках интервала.
Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) равно \( 0 \).
