рр

Давай разберем каждое из неравенств по порядку.

1. Неравенство: \((x - 1)(x + 4) < 0\)

Решение:

• Найдём нули функции: \(x = 1\) и \(x = -4\).
• Отмечаем их на числовой прямой и определяем интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, 1)\), \((1, ∞)\).
• Проверяем знаки в каждом интервале.

Знак чередуется, так что:

• \((x - 1)(x + 4) < 0\) в интервале \((-4, 1)\).

2. Неравенство: \((x - 2)(4x + 4)(2x - 6) > 0\)

Решение:

• Найдём нули функции: \(x = 2\), \(x = -1\), \(x = 3\).
• Отмечаем их на числовой прямой и определяем интервалы: \((-∞, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, ∞)\).
• Проверяем знаки в каждом интервале.

Знак чередуется, так что:

• \((x - 2)(4x + 4)(2x - 6) > 0\) в интервалах \((-∞, -1)\), \((2, 3)\).

3. Неравенство: \(1 - \frac{x}{x + 1} < 0\)

Решение:

• Приведём к общему знаменателю: \(\frac{x + 1 - x}{x + 1} < 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 1} < 0\).
• То есть, \(x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1\).

4. Неравенство: \(\sqrt{x^2 - 4} > x\)

Решение:

• Определение: \(x^2 - 4\) должно быть неотрицательно, т.е. \(|x| > 2\) (отличается от нуля и больше).
• Переписываем: \(x^2 - 4 > x^2 \Rightarrow -4 > 0\), что неверно на всём множестве \(|x| > 2\).
• Однако наша функция \(\sqrt{x^2 - 4}\) имеет реальные значения при \(|x| > 2\).

Проверка на концах: неравенство выполняется в точках \((-\infty, -2) \cup (2, \infty)\).

5. Неравенство: \(\frac{3x}{x - 1} < 2\)

Решение:

• Переписываем: \(\frac{3x}{x - 1} - 2 < 0\).
• Приводим к общему знаменателю: \(\frac{3x - 2(x - 1)}{x - 1} < 0\).
• После упрощения: \(\frac{x + 2}{x - 1} < 0\).

Определение знаков:

• Определяем нули: \(x = -2\), вертикальная асимптота: \(x = 1\).
• Интервалы: \((-∞, -2)\), \((-2, 1)\), \((1, ∞)\).

Знак чередуется:

• \(\frac{x + 2}{x - 1} < 0\) в интервале \((-2, 1)\).

Если у тебя есть ещё вопросы или что-то непонятно, пиши!