Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах

Question 1

Задача Задача №2390325

А

Аноним

02 декабря 2024 06:39 · публичный вопрос

А

Аноним 02 декабря 2024 06:39

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах

Answer

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, мы сначала приведем его к более удобному виду.

Перепишем уравнение, сгруппировав его по переменным: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]
Завершим квадрат для \(x\) и \(y\).

Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]
Подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь мы видим, что уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Чтобы найти целые решения, нам нужно найти целые точки, находящиеся на окружности. Мы можем обозначить \(a = x - 1\) и \(b = y + 3\), так что уравнение становится: \[ a^2 + b^2 = 10 \]
Теперь найдем все целые решения уравнения \(a^2 + b^2 = 10\):
- \(a = 0, b = \pm \sqrt{10}\) (нецелые решения)
- \(a = \pm 1, b = \pm \sqrt{9} = \pm 3\):
  - \( (1, 3) \)
  - \( (1, -3) \)
  - \( (-1, 3) \)
  - \( (-1, -3) \)
- \(a = \pm 3, b = \pm 1\):
  - \( (3, 1) \)
  - \( (3, -1) \)
  - \( (-3, 1) \)
  - \( (-3, -1) \)
- \(a = \pm \sqrt{10}\) (нецелые решения)

Теперь мы имеем возможные пары \((a, b)\):

\( (1, 3) \)
\( (1, -3) \)
\( (-1, 3) \)
\( (-1, -3) \)
\( (3, 1) \)
\( (3, -1) \)
\( (-3, 1) \)
\( (-3, -1) \)
Теперь вернемся к переменным \(x\) и \(y\): \[ x = a + 1, \quad y = b - 3 \]

Таким образом, подставляем полученные значения \( (a, b) \):

Для \( (1, 3) \): \( (x, y) = (2, 0) \)
Для \( (1, -3) \): \( (x, y) = (2, -6) \)
Для \( (-1, 3) \): \( (x, y) = (0, 0) \)
Для \( (-1, -3) \): \( (x, y) = (0, -6) \)
Для \( (3, 1) \): \( (x, y) = (4, -2) \)
Для \( (3, -1) \): \( (x, y) = (4, -4) \)
Для \( (-3, 1) \): \( (x, y) = (-2, -2) \)
Для \( (-3, -1) \): \( (x, y) = (-2, -4) \)

Итак, целые решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) следующими парами:

\( (2, 0) \)
\( (2, -6) \)
\( (0, 0) \)
\( (0, -6) \)
\( (4, -2) \)
\( (4, -4) \)
\( (-2, -2) \)
\( (-2, -4) \)

Если нужна дополнительная помощь, задавайте вопросы!

Question 2

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах

Answer

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, мы сначала приведем его к более удобному виду. 1. Перепишем уравнение, сгруппировав его по переменным: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \] 2. Завершим квадрат для \(x\) и \(y\). Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \] 3. Подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \] Теперь мы видим, что уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). 4. Чтобы найти целые решения, нам нужно найти целые точки, находящиеся на окружности. Мы можем обозначить \(a = x - 1\) и \(b = y + 3\), так что уравнение становится: \[ a^2 + b^2 = 10 \] 5. Теперь найдем все целые решения уравнения \(a^2 + b^2 = 10\): - \(a = 0, b = \pm \sqrt{10}\) (нецелые решения) - \(a = \pm 1, b = \pm \sqrt{9} = \pm 3\): - \( (1, 3) \) - \( (1, -3) \) - \( (-1, 3) \) - \( (-1, -3) \) - \(a = \pm 3, b = \pm 1\): - \( (3, 1) \) - \( (3, -1) \) - \( (-3, 1) \) - \( (-3, -1) \) - \(a = \pm \sqrt{10}\) (нецелые решения) Теперь мы имеем возможные пары \((a, b)\): 1. \( (1, 3) \) 2. \( (1, -3) \) 3. \( (-1, 3) \) 4. \( (-1, -3) \) 5. \( (3, 1) \) 6. \( (3, -1) \) 7. \( (-3, 1) \) 8. \( (-3, -1) \) 6. Теперь вернемся к переменным \(x\) и \(y\): \[ x = a + 1, \quad y = b - 3 \] Таким образом, подставляем полученные значения \( (a, b) \): - Для \( (1, 3) \): \( (x, y) = (2, 0) \) - Для \( (1, -3) \): \( (x, y) = (2, -6) \) - Для \( (-1, 3) \): \( (x, y) = (0, 0) \) - Для \( (-1, -3) \): \( (x, y) = (0, -6) \) - Для \( (3, 1) \): \( (x, y) = (4, -2) \) - Для \( (3, -1) \): \( (x, y) = (4, -4) \) - Для \( (-3, 1) \): \( (x, y) = (-2, -2) \) - Для \( (-3, -1) \): \( (x, y) = (-2, -4) \) Итак, целые решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) следующими парами: 1. \( (2, 0) \) 2. \( (2, -6) \) 3. \( (0, 0) \) 4. \( (0, -6) \) 5. \( (4, -2) \) 6. \( (4, -4) \) 7. \( (-2, -2) \) 8. \( (-2, -4) \) Если нужна дополнительная помощь, задавайте вопросы!