Вася,Полина и Николай занимаются прополкой огорода,который находится возле дома их бабушки.Работают они с разной скоростью.Вчерашняя работа показала,что Вася и Полина выпалывают гряду за 5мин,Полина и Николай выпалывают её же за 6 мин Николай и Вася-за 20 мин. за сколько минут выполнят эту работу все вместе?

Для решения этой задачи давайте обозначим скорость работы каждого из детей:

1. Скорость Васи – \( V_B \) (грядка за минуту).
2. Скорость Полины – \( V_P \).
3. Скорость Николая – \( V_N \).

Из условий задачи мы знаем:

• Вася и Полина вместе выполняют работу за 5 минут:
  \( V_B + V_P = \frac{1}{5} \) (грядка/минуту).

• Полина и Николай вместе выполняют работу за 6 минут:
  \( V_P + V_N = \frac{1}{6} \).

• Николай и Вася работают вместе за 20 минут:
  \( V_N + V_B = \frac{1}{20} \).

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. \( V_B + V_P = \frac{1}{5} \) (1)
2. \( V_P + V_N = \frac{1}{6} \) (2)
3. \( V_N + V_B = \frac{1}{20} \) (3)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Начнем с того, что выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.

Из (1) выразим \( V_P \): \[ V_P = \frac{1}{5} - V_B \]

Подставим \( V_P \) в (2): \[ \left(\frac{1}{5} - V_B\right) + V_N = \frac{1}{6} \]
\[ V_N = \frac{1}{6} - \frac{1}{5} + V_B \]
Найдем общий знаменатель: \[ V_N = V_B - \frac{5}{30} + \frac{6}{30} = V_B + \frac{1}{30} \]

Теперь подставим \( V_N \) в (3): \[ \left(V_B + \frac{1}{30}\right) + V_B = \frac{1}{20} \]
\[ 2V_B + \frac{1}{30} = \frac{1}{20} \]
Выразим \( 2V_B \): \[ 2V_B = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} \]

Найдем общий знаменатель (60): \[ 2V_B = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60} \]
Отсюда: \[ V_B = \frac{1}{120} \]

Теперь подставим \( V_B \) обратно, чтобы найти \( V_P \) и \( V_N \):

1. Найдем \( V_P \): \[ V_P = \frac{1}{5} - V_B = \frac{1}{5} - \frac{1}{120} = \frac{24}{120} - \frac{1}{120} = \frac{23}{120} \]

2. Найдем \( V_N \): \[ V_N = V_B + \frac{1}{30} = \frac{1}{120} + \frac{1}{30} = \frac{1}{120} + \frac{4}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \]

Теперь мы можем найти общую скорость работы всех вместе: \[ V_B + V_P + V_N = \frac{1}{120} + \frac{23}{120} + \frac{1}{24} \]

Найдем общий знаменатель для последней части: \[ V_N = \frac{1}{24} = \frac{5}{120} \] Таким образом: \[ V_B + V_P + V_N = \frac{1}{120} + \frac{23}{120} + \frac{5}{120} = \frac{29}{120} \]

Теперь мы находим время, необходимое для выполнения всей работы: \[ t = \frac{1}{V_B + V_P + V_N} = \frac{1}{\frac{29}{120}} = \frac{120}{29} \]

Это примерно \( 4.14 \) минут, которые ребята потратят на выполнение работы вместе.

Итак, вместе они выполнят эту работу примерно за 4.14 минут.