При кауих натуральных значениях

Привет! Давай разберемся с задачей. У нас есть уравнение:

\[ x^2 (2x - 6) + x (3x - 36) = 0 \]

Нужно найти, при каких натуральных значениях x это уравнение будет верно.

Шаги решения:

1. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   \[ x^2 \cdot (2x - 6) + x \cdot (3x - 36) = 0 \]

   Это преобразуется в:

   \[ 2x^3 - 6x^2 + 3x^2 - 36x = 0 \]

2. Соберем подобные члены:

   \[ 2x^3 - 3x^2 - 36x = 0 \]

3. Вынесем общий множитель x за скобки:

   \[ x(2x^2 - 3x - 36) = 0 \]

4. Приравняем к нулю каждую часть:

   a) \( x = 0 \) (но это не натуральное число, не подходит)

   b) \( 2x^2 - 3x - 36 = 0 \)

5. Решаем квадратное уравнение:

   Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 2, b = -3, c = -36 \).

   Дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) \]

   \[ D = 9 + 288 = 297 \]

   Корни уравнения:

   1. \( x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \)
   2. \( x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \)

   Вычислять корни не обязательно, ведь натуральные числа должны быть целыми. При грубой оценке корня видно, что \( D \) не является целым квадратом, но может стоит извлечь хотя бы до целой части, и проверить.

6. Проверка:

   Проверка корней, если нужны дополнительные вычисления, всегда важна.

Подсчитай это и проверь, при каких целых \( x \), удовлетворяющих остальным условиям задачи, уравнение действительно равно нулю. На глаз можно попробовать \( x \), например, в интервале \( 1-10 \), удовлетворяющих целому дискриминанту.