3-3/√5-√15 сократить

Чтобы упростить выражение \(3 - \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}\), начнем с рационализации знаменателя. Это делается путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя.

Сопряженное к \(\sqrt{5} - \sqrt{15}\) будет \(\sqrt{5} + \sqrt{15}\). Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

\[ \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{15})} \]

В знаменателе мы имеем разность квадратов:

\[ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{15})^2 = 5 - 15 = -10 \]

Теперь подставим это в выражение:

\[ \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{-10} = -\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} \]

Теперь сделаем подстановку обратно в исходное выражение:

\[ 3 - \left(-\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{10}\right) = 3 + \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} \]

Можно записать это в виде общего дробного выражения:

\[ 3 = \frac{30}{10} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{30}{10} + \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} = \frac{30 + 3(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} \]

Итак, окончательно упрощенное выражение будет:

\[ \frac{30 + 3\sqrt{5} + 3\sqrt{15}}{10} \]

Это можно еще немного упростить, вынеся общий множитель 3 из числителя:

\[ \frac{3(10 + \sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{3(10 + \sqrt{5} + \sqrt{15})}{10} \]