Диагональ прямоугольника на 6см больше одной из сторон и на 3 см больше другой .найдите стороны прямоугольника
Для решения задачи начнём с обозначений. Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, а другая сторона — \( y \) см. Из условия задачи мы узнаем, что диагональ \( d \) прямоугольника на 6 см больше одной стороны и на 3 см больше другой. Поэтому можем записать следующее:
\[ d = x + 6 \] \[ d = y + 3 \]
Поскольку диагональ прямоугольника можно рассчитать по теореме Пифагора, у нас есть:
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Теперь, так как обе записи диагонали равны, мы можем приравнять их:
\[ x + 6 = y + 3 \]
Решим это уравнение для \( y \):
\[ y = x + 3 \]
Теперь подставим \( y \) в формулу для диагонали:
\[ d = x + 6 = \sqrt{x^2 + (x + 3)^2} \]
Раскроем квадрат в правой части уравнения:
\[ d = \sqrt{x^2 + (x^2 + 6x + 9)} = \sqrt{2x^2 + 6x + 9} \]
Теперь приравняем обе выражения для диагонали:
\[ x + 6 = \sqrt{2x^2 + 6x + 9} \]
Теперь избавимся от квадратного корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (x + 6)^2 = 2x^2 + 6x + 9 \]
Раскроем левую часть:
\[ x^2 + 12x + 36 = 2x^2 + 6x + 9 \]
Соберем все элементы в одном уравнении:
\[ 0 = 2x^2 - x^2 + 6x - 12x + 9 - 36 \] \[ 0 = x^2 - 6x - 27 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 6x - 27 = 0 \]
Используем формулу вычисления корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
В нашем случае \( a = 1, b = -6, c = -27 \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 12}{2} \]
Теперь найдём корни:
- \( x = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( x = \frac{-6}{2} = -3 \) (отрицательное значение не подходит для длины стороны)
Таким образом, \( x = 9 \) см. Теперь найдём \( y \):
\[ y = x + 3 = 9 + 3 = 12 \text{ см.} \]
Итак, стороны прямоугольника равны \( 9 \text{ см} \) и \( 12 \text{ см} \).
