Решите биквадратное уравнение x⁴-20x²+64=0

Чтобы решить биквадратное уравнение \( x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Таким образом, наше уравнение преобразуется в квадратное уравнение:

\[ y^2 - 20y + 64 = 0 \]

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -20 \), \( c = 64 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ y = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \]

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

\[ y = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} \]

Поскольку \( \sqrt{144} = 12 \), то получаем:

\[ y = \frac{20 \pm 12}{2} \]

Таким образом, у нас есть два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( y_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Теперь вернемся к переменной \( x \). Поскольку \( y = x^2 \), мы имеем:

1. \( x^2 = 16 \) ⟹ \( x = \pm 4 \)
2. \( x^2 = 4 \) ⟹ \( x = \pm 2 \)

Таким образом, окончательные решения биквадратного уравнения:

\[ x = 4, -4, 2, -2 \]

Это все решения уравнения \( x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \).