Градусная мера острого угла прямоугольной трапеции равна 45 градусов, высота, проведенная из тупого угла, делит трапецию на треугольник и квадрат, площадь квадрата равна 64 см. Вычислите площадь трапеции
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Определим элементы фигуры: У нас есть прямоугольная трапеция, у которой острый угол равен 45 градусов. Высота, проведенная из тупого угла, делит трапецию на треугольник и квадрат.
Площадь квадрата: Известно, что площадь квадрата равна 64 см². Это позволяет нам найти его сторону: \[ a = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] Таким образом, сторона квадрата составляет 8 см.
Высота трапеции: Поскольку высота, проведенная из тупого угла, равна стороне квадрата, высота трапеции также составляет 8 см.
Определение основания: В прямоугольной трапеции с острым углом в 45 градусов и известной высотой мы можем сделать вывод, что основание, соответствующее этому углу, также равно по величине высоте. Таким образом, одно из оснований прямоугольной трапеции, обозначим его \(b_1\), также равно 8 см.
Второе основание: Для нахождения второго основания \(b_2\) воспользуемся свойством прямоугольной трапеции, где расположение острых и тупых углов влияет на соотношение оснований. Поскольку угол равен 45 градусов, высота также равна основанию треугольника, который образуется с другим основанием. С учетом этого свойства, имеем: \[ b_2 = b_1 + h = 8 + 8 = 16 \text{ см} \]
Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляем по формуле: \[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] Подставляем известные значения: \[ S = \frac{(8 + 16) \cdot 8}{2} = \frac{24 \cdot 8}{2} = \frac{192}{2} = 96 \text{ см}^2 \]
Итак, площадь прямоугольной трапеции равна 96 см².
