Решите неравенство 4/x ≤ 4 - х. В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6;6.

Чтобы решить неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), начнем с приведения его к общему виду.

Перепишем неравенство:

\[ \frac{4}{x} + x - 4 \leq 0 \]

Умножим обе стороны на \( x \), но учитывая, что \( x \) может быть как положительным, так и отрицательным, мы должны рассмотреть два случая: \( x > 0 \) и \( x < 0 \).

1. Случай \( x > 0 \)

Если \( x > 0 \), то можно умножить на \( x \), не меняя знак неравенства:

\[ 4 + x^2 - 4x \leq 0 \]

Переписываем:

\[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]

Это неравенство приравниваем к нулю:

\[ (x - 2)^2 \leq 0 \]

Решение:

\[ (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]

Проверяем, удовлетворяет ли \( x = 2 \) исходному неравенству:

\[ \frac{4}{2} \leq 4 - 2 \Rightarrow 2 \leq 2 \]

Это верно, следовательно, \( x = 2 \) — решение.

2. Случай \( x < 0 \)

Если \( x < 0 \), умножая на \( x \) (меняем знак неравенства):

\[ 4 + x^2 - 4x \geq 0 \]

Это неравенство записываем так:

\[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \Rightarrow (x - 2)^2 \geq 0 \]

Это неравенство выполняется для всех \( x \), но мы рассматриваем только \( x < 0 \).

Таким образом, решение неравенства: \( x = 2 \) и все \( x < 0 \).

Итоговое решение

Теперь находим целые решения в интервале \([-6, 6]\):

• Целое число \( 2 \).
• Все целые числа \( \leq 0 \): \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0\).

Теперь найдем сумму всех целых решений:

\[ (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 2 = -6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 2 = -19. \]

Таким образом, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), составляет:

\[ \boxed{-19}. \]