При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 5 ч 50 мин. как быстро мог бы очистить этот пруд каждый из насосов, работая отдельно, если один из них может выполнить эту работу на 4 ч быстрее другого?

Для решения этой задачи начнём с определения времени, за которое каждый насос очищает пруд отдельно.

Обозначим время, которое требуется более медленному насосу для очистки пруда, как \( x \) часов. Тогда более быстрому насосу, который очищает пруд на 4 часа быстрее, требуется \( x - 4 \) часа.

Теперь мы можем вычислить, сколько работы выполняют насосы за единицу времени. Работа, выполненная насосом, определяется как \( \frac{1}{T} \), где \( T \) — время, за которое насос очищает пруд.

Таким образом, производительность каждого насоса будет следующей:

• Медленный насос: \( \frac{1}{x} \)
• Быстрый насос: \( \frac{1}{x - 4} \)

Когда оба насоса работают вместе, их производительности складываются:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{T} \]

где \( T \) — общее время работы насосов вместе, равное 5 ч 50 мин.

Переведем время, чтобы работать с ним удобнее. 5 ч 50 мин = \( 5 + \frac{50}{60} = 5 + \frac{5}{6} = \frac{35}{6} \) часов.

Теперь подставим \( T \):

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 4} = \frac{6}{35} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( 35x(x - 4) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 35(x - 4) + 35x = 6x(x - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 35x - 140 + 35x = 6x^2 - 24x \]

Соберём все члены в одно уравнение:

\[ 70x + 24x - 140 = 6x^2 \]

\[ 6x^2 - 94x + 140 = 0 \]

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 6 \), \( b = -94 \), \( c = 140 \). Подставим значения:

\[ x = \frac{94 \pm \sqrt{(-94)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 140}}{2 \cdot 6} \]

Посчитаем дискриминант:

\[ (-94)^2 = 8836 \] \[ 4 \cdot 6 \cdot 140 = 3360 \] \[ 8836 - 3360 = 5476 \]

Теперь найдем корень дискриминанта:

\[ \sqrt{5476} = 74 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ x = \frac{94 \pm 74}{12} \]

Решения:

\[ x_1 = \frac{168}{12} = 14 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \text{ (около 1.67)} \]

Так как время не может быть отрицательным и должно быть разумным, возьмем \( x = 14 \). Таким образом, быстрый насос очищает пруд:

\[ x - 4 = 14 - 4 = 10 \text{ часов} \]

Итак, медленный насос очищает пруд за 14 часов, а быстрый — за 10 часов.