Среди учеников 10 класса провели опрос: "Какой из трёх предметов вам больше всего нравится?" Алгебра нравится 17 ученикам. Причём пяти из них нравится еще и геометрия, а четырём – Вероятность и статистика. Двое учеников в анкете указали, что любят все три предмета. У 9 учеников Вероятность и статистика отмечена как любимый предмет, и у 7 из них этот предмет не единственный. Геометрия в анкетах встречалась 12 раз. Сколько учеников в классе?
Давайте разберемся с задачей шаг за шагом, используя метод включений-исключений для нахождения общего числа учеников в классе.
Обозначим:
- \( A \) – множество учеников, которым нравится алгебра
- \( B \) – множество учеников, которым нравится геометрия
- \( C \) – множество учеников, которым нравится вероятность и статистика
Из условия задачи имеем:
- \( |A| = 17 \) (учеников, которым нравится алгебра)
- \( |B| = 12 \) (учеников, которым нравится геометрия)
- \( |C| = 9 \) (учеников, которым нравится вероятность и статистика)
Также есть дополнительные данные:
- 5 учеников любят и алгебру, и геометрию: \( |A \cap B| = 5 \)
- 4 ученика любят и алгебру, и вероятность и статистику: \( |A \cap C| = 4 \)
- 2 ученика любят все три предмета: \( |A \cap B \cap C| = 2 \)
- У 7 учеников вероятность и статистика не единственный предмет, они также любят либо алгебру, либо геометрию. То есть, среди 9, которые любят вероятность и статистику, 7 – это те, у кого есть еще один любимый предмет. Следовательно, 2 ученика любят только вероятность и статистику: \( |C \setminus (A \cup B)| = 2 \).
Теперь начнем с подсчета учеников, которые любят только один из предметов:
Ученики, которые любят алгебру, но не геометрию и не вероятность и статистику: \[ |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 17 - 5 - 4 + 2 = 10 \]
Ученики, которые любят геометрию, но не алгебру и не вероятность и статистику: \[ |B| - |A \cap B| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Сначала найдем \( |B \cap C| \). Так как 7 из 9 учеников, которым нравится вероятность и статистика, любят еще и либо алгебру, либо геометрию, значит \( |B \cap C| = |C| - (количество учеников, которые любят только C) = 9 - 2 = 7 \). Теперь можем подставить: \[ |B| - |A \cap B| - (|C| - |B \cap C|) + |A \cap B \cap C| = 12 - 5 - (9 - 7) + 2 = 12 - 5 - 2 + 2 = 7 \]
Ученики, которые любят только вероятность и статистику: Мы уже знаем, это 2 ученика.
Теперь можно найти общее количество учеников, сложив все найденные значения:
- Только алгебру: 10
- Только геометрию: 7
- Только вероятность и статистику: 2
- Алгебру и геометрию: 5
- Алгебру и вероятность и статистику: 4
- Геометрию и вероятность и статистику: 7 (с учетом пересечений)
- Все три предмета: 2
Следовательно, общее количество учеников в классе, включив всех, будет: \[ N = (10 + 7 + 2 + 5 + 4 + 7 + 2) - 2 \cdot (количество учеников, которые любят все три предмета) \] \( N = 35 - 2 = 33 \)
Итак, общее количество учеников в классе равно 33.
