Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша - фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и фантики, и бантики делала в 4 раза быстрее Маши. Бантиков они изготовили поровну, а фантиков вместе изготовили 850 штук. Сколько фантиков изготовила Маша?

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть \( t \) - общее время, которое Маша и Даша работали над фантиками и бантиками. Пусть скорость Маши по изготовлению бантиков равна \( v \), тогда скорость Даши, которая в 4 раза быстрее, будет равна \( 4v \).

Предположим, что в течение времени \( t_1 \) Маша делала бантики, а Даша - фантики. После этого времени они поменялись ролями, и в течение времени \( t_2 \) Даша делала бантики, а Маша - фантики. Таким образом, у нас есть:

1. Произведенные бантики:
   Маша произвела \( v \cdot t_1 \) бантиков.
   Даша произвела \( 4v \cdot t_2 \) бантиков.
   Условие задачи гласит, что бантиков они изготовили поровну, поэтому:
   \[ v \cdot t_1 = 4v \cdot t_2 \] Отсюда, сокращая \( v \) (при \( v \neq 0 \)), получаем: \[ t_1 = 4t_2 \]

2. Произведенные фантики:
   Даша, работая над фантиками, произвела \( 4v \cdot t_1 \) фантиков, а Маша, раз работала с фантиками, произвела \( v \cdot t_2 \) фантиков.
   В сумме они изготовили 850 фантиков, то есть: \[ 4v \cdot t_1 + v \cdot t_2 = 850 \]

Теперь подставим \( t_1 \) из предыдущего уравнения \( t_1 = 4t_2 \) в это уравнение: \[ 4v \cdot (4t_2) + v \cdot t_2 = 850 \] \[ 16v \cdot t_2 + v \cdot t_2 = 850 \] \[ 17v \cdot t_2 = 850 \] Из этого уравнения можно выразить \( vt_2 \): \[ vt_2 = \frac{850}{17} = 50 \]

Теперь мы знаем, что \( vt_2 = 50 \).

Теперь найдем \( t_1 \): \[ t_1 = 4t_2 \implies vt_1 = 4vt_2 = 4 \cdot 50 = 200 \]

Теперь вычислим, сколько фантиков изготовила Маша. Она делала фантики в течение времени \( t_2 \): \[ \text{Фантики, изготовленные Машей} = v \cdot t_2 = 50 \]

Таким образом, Маша изготовила 50 фантиков.