Два ружья независимо друг от друга делают выстрел по цели до первого попадания хотя бы одним их них. Вероятность попадания первым равна 0,3 , вероятность попадания вторым - 0,7. Найдите D(X)
Чтобы найти дисперсию \( D(X) \) случайной величины \( X \), которая представляет собой количество выстрелов, произведённых до первого попадания хотя бы одним из ружей, мы сначала определим вероятности.
Обозначим:
- \( p_1 = 0,3 \) — вероятность попадания первого ружья,
- \( p_2 = 0,7 \) — вероятность попадания второго ружья.
Вероятность того, что ни одно из ружей не попадёт при одном выстреле, равна: \[ q = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = (1 - 0,3) \cdot (1 - 0,7) = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21. \]
Теперь вероятность того, что хотя бы одно ружьё попадёт в цель за один выстрел, будет равна: \[ p = 1 - q = 1 - 0,21 = 0,79. \]
Случайная величина \( X \), представляющая количество выстрелов до первого попадания, подчиняется геометрическому распределению с параметром \( p \). Для геометрического распределения мы знаем, что:
- математическое ожидание \( E(X) = \frac{1}{p} \),
- дисперсия \( D(X) = \frac{1 - p}{p^2} \).
Теперь вычислим математическое ожидание: \[ E(X) = \frac{1}{0,79} \approx 1,27. \]
А теперь дисперсию: \[ D(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{1 - 0,79}{(0,79)^2} = \frac{0,21}{0,6241} \approx 0,336. \]
Итак, дисперсия \( D(X) \) составляет примерно 0,336.
