Условие задания: По данным статистического центра некоторого города N, известно, что 25. вероятность рождения мальчика равна 0,478. Найди математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y - число мальчиков в семье с 2 детьми. (Результаты округли до сотых.) Ответ
Для решения этой задачи нам нужно определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y, которая представляет собой число мальчиков в семье с двумя детьми.
Вероятности:
- Вероятность рождения мальчика (p) = 0,478
- Вероятность рождения девочки (q) = 1 - p = 1 - 0,478 = 0,522
Случайная величина Y: Поскольку мы рассматриваем семью с 2 детьми, возможные значения случайной величины Y (число мальчиков в семье) могут быть: 0, 1 или 2.
P(Y = 0): Вероятность, что оба ребенка девочки: \[ P(Y = 0) = q^2 = (0,522)^2 \approx 0,272 \]
P(Y = 1): Вероятность, что один ребенок мальчик, а другой – девочка: \[ P(Y = 1) = 2 \cdot p \cdot q = 2 \cdot 0,478 \cdot 0,522 \approx 0,499 \]
P(Y = 2): Вероятность, что оба ребенка мальчики: \[ P(Y = 2) = p^2 = (0,478)^2 \approx 0,228 \]
Теперь мы можем записать вероятности:
- P(Y = 0) ≈ 0,272
- P(Y = 1) ≈ 0,499
- P(Y = 2) ≈ 0,228
Математическое ожидание (E[Y]): Формула для математического ожидания: \[ E[Y] = \sum (x_i \cdot P(Y = x_i)) \] Подставляем значения: \[ E[Y] = 0 \cdot 0,272 + 1 \cdot 0,499 + 2 \cdot 0,228 \approx 0 + 0,499 + 0,456 = 0,955 \]
Дисперсия (D[Y]): Для вычисления дисперсии сначала посчитаем E[Y^2]: \[ E[Y^2] = \sum (x_i^2 \cdot P(Y = x_i)) \] \[ E[Y^2] = 0^2 \cdot 0,272 + 1^2 \cdot 0,499 + 2^2 \cdot 0,228 \approx 0 + 0,499 + 0,912 = 1,411 \]
Теперь можно найти дисперсию: \[ D[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 1,411 - (0,955)^2 \approx 1,411 - 0,912 = 0,499 \]
Таким образом, результаты для математического ожидания и дисперсии округлим до сотых:
- Математическое ожидание E[Y] ≈ 0,96
- Дисперсия D[Y] ≈ 0,50
Ответ: математическое ожидание ≈ 0,96, дисперсия ≈ 0,50.
