Sin7xcos3x-sin3xcos7x<=0 Найди минимальное значение х из промежутка (п/6;п/2) , удовлетворяющее данному неравенству. Запиши в поле ответа значение x умноженное на 12/п

Чтобы решить неравенство \( \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x) \leq 0 \), можно воспользоваться формулой разности синусов, которая гласит:

\[ \sin(A) \cos(B) - \sin(B) \cos(A) = \sin(A - B) \]

В нашем случае \( A = 7x \) и \( B = 3x \). Подставив эти значения, получаем:

\[ \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x) = \sin(7x - 3x) = \sin(4x) \]

Таким образом, неравенство превращается в:

\[ \sin(4x) \leq 0 \]

Теперь необходимо определить, когда синус не положителен. Синус равен нулю в точках:

\[ 4x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Таким образом,

\[ x = \frac{n\pi}{4} \]

Синус отрицателен на интервалах:

\[ \left(\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Применяя это к нашему случаю и учитывая, что \( x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \):

1. Нужно найти соответствующий \( n \) такой, что

   \[ \frac{\pi}{6} < \frac{n\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \]

2. Умножив все части на 4, получаем:

   \[ \frac{2\pi}{3} < n\pi < 2\pi \]

   Делим на \( \pi \):

   \[ \frac{2}{3} < n < 2 \]

   Это дает нам возможные целые значения для \( n \):

   • \( n = 1 \) (так как \( n = 2 \) не входит в промежуток)

3. Теперь подставляем \( n = 1 \):

   \[ x = \frac{1\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]

Проверим, удовлетворяет ли это значение неравенству:

\[ \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi) = 0 \]

Это удовлетворяет условию \( \sin(4x) \leq 0 \).

Теперь, согласно условию задачи, нужно записать значение \( x \) умноженное на \( \frac{12}{\pi} \):

\[ x \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{12}{\pi} = 3 \]

Ответ:

\[ 3 \]