1. Найдите скалярное произведение векторов a⃗ (−3,9,9) and b⃗ (−7,−6,3) 2. Определите какой угол между ними (тупой 1, прямой 2, острый 3)
- Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (-3, 9, 9)\) и \(\vec{b} = (-7, -6, 3)\) вычисляется по формуле:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]
Подставив координаты векторов:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot (-7) + 9 \cdot (-6) + 9 \cdot 3 \]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
\[ (-3) \cdot (-7) = 21 \] \[ 9 \cdot (-6) = -54 \] \[ 9 \cdot 3 = 27 \]
Теперь сложим результаты:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 21 - 54 + 27 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно -6.
- Чтобы определить угол между векторами, используем информацию о скалярном произведении. Угол \(\theta\) между двумя векторами можно найти из формулы:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \]
Где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — длины векторов. Длина вектора \(\vec{a}\):
\[ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 9^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81 + 81} = \sqrt{171} \]
Длина вектора \(\vec{b}\):
\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 36 + 9} = \sqrt{94} \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ -6 = \sqrt{171} \cdot \sqrt{94} \cdot \cos(\theta) \]
Значит,
\[ \cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{171} \cdot \sqrt{94}} \]
Чтобы понять, какой угол соответствует данному значению косинуса, помним, что:
- Угол острый: \(\cos(\theta) > 0\)
- Угол прямой: \(\cos(\theta) = 0\)
- Угол тупой: \(\cos(\theta) < 0\)
Поскольку \(\cos(\theta) < 0\), угол между векторами является тупым.
Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — тупой (1).
