Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23см, а его гипотенуза равна 37см. Найдите площадь треугольника.
Для нахождения площади прямоугольного треугольника, нужно знать длины его катетов. Обозначим катеты как \( a \) и \( b \), где \( a > b \). По условию задачи имеем:
- \( a - b = 23 \)
- Гипотенуза \( c = 37 \)
Согласно теореме Пифагора, выполняется следующее уравнение:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим значение гипотенузы:
\[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 \]
Теперь выразим \( a \) через \( b \) из первого уравнения:
\[ a = b + 23 \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ (b + 23)^2 + b^2 = 1369 \]
Раскроем скобки:
\[ b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369 \]
Соберем все слагаемые:
\[ 2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0 \]
Упростим это уравнение:
\[ 2b^2 + 46b - 840 = 0 \]
Разделим уравнение на 2:
\[ b^2 + 23b - 420 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 \]
Находим корень дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ b = \frac{-23 \pm 47}{2} \]
Рассмотрим два случая:
- \( b = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( b = \frac{-70}{2} = -35 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Теперь находим \( a \):
\[ a = b + 23 = 12 + 23 = 35 \]
Теперь знаем катеты \( a = 35 \) см и \( b = 12 \) см.
Теперь найдем площадь треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь треугольника равна \( 210 \) см².
