15. В треугольнике АВС известно, что AB = 8 BC = 10 AC = 12 Найдите соs угла ABC .

Чтобы найти косинус угла ABC в треугольнике ABC, можно использовать теорему косинусов. Эта теорема утверждает, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и углом C, противолежащим стороне c, справедливо следующее равенство:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

В нашем случае let:

• AB = c = 8 (длина стороны, противолежащей углу ABC)
• AC = b = 12
• BC = a = 10

Теперь подставим значения в формулу:

\[ 8^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(ABC) \]

Посчитаем каждый элемент:

1. \( 8^2 = 64 \)
2. \( 12^2 = 144 \)
3. \( 10^2 = 100 \)

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ 64 = 144 + 100 - 240 \cdot \cos(ABC) \]

Это упростится до:

\[ 64 = 244 - 240 \cdot \cos(ABC) \]

Переносим 244 на левую сторону:

\[ 64 - 244 = -240 \cdot \cos(ABC) \]

\[ -180 = -240 \cdot \cos(ABC) \]

Теперь делим обе стороны на -240:

\[ \cos(ABC) = \frac{180}{240} \]

Упростив эту дробь, получим:

\[ \cos(ABC) = \frac{3}{4} \]

Таким образом, косинус угла ABC равен \( \frac{3}{4} \).