16. На окружности с центром в точке отмечены точки А и В так, что angle AOB = 120° . Длина меньшей дуги АВ равна 67. Найдите длину большей дуги АВ.

Чтобы найти длину большей дуги \( AB \), нам сначала нужно понять, что сумма длин двух дуг \( AB \) равна длине всей окружности, а также как связаны углы с длиной дуги.

1. Угол \( AOB \) равен \( 120^\circ \). Это значит, что меньшая дуга \( AB \), соответствующая этому углу, занимает одну шестую окружности, так как \( 360^\circ \) — это полный круг.

2. Длина меньшей дуги \( AB \) равна 67.

3. Сначала найдем длину всей окружности. Если меньшая дуга составляет \( 120^\circ \), это соответствует \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \) всей окружности.

Таким образом, длина всей окружности \( C \) будет равна: \[ C = \frac{67}{\frac{1}{3}} = 67 \times 3 = 201. \]

4. Теперь можем найти длину большей дуги \( AB \). Длина большей дуги — это разница между полной длиной окружности и длиной меньшей дуги: \[ L_{\text{большая}} = C - L_{\text{меньшая}} = 201 - 67 = 134. \]

Таким образом, длина большей дуги \( AB \) равна \( 134 \).