Найди площадь треугольника MNK, в котором ∠M=45°, из точки N проведена высота NQ, при этом MQ=3 мм, QK=6 мм.
Чтобы найти площадь треугольника \( MNK \), где угол \( \angle M = 45° \), и известны длины отрезков \( MQ \) и \( QK \), нам сначала нужно понять, как расположены эти элементы.
Дано, что:
- \( MQ = 3 \) мм (это один из катетов),
- \( QK = 6 \) мм (это часть другого катета, выходящая из высоты).
Сначала найдем длину \( NK \). Поскольку \( NQ \) является высотой, треугольник \( MNK \) можно рассматривать как прямоугольный треугольник с углом \( M \) равным 45°. В прямоугольном треугольнике с углом 45° оба катета равны.
Пусть \( NK = x \). Тогда, согласно свойствам треугольника:
\[ NK = MQ + QK = 3 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 9 \, \text{мм}. \]
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \]
где \( a \) — основание (пусть это будет \( MQ \)), а \( h \) — высота (это \( NQ \)).
Так как мы знаем, что высота \( NQ \) может быть найдена, используя свойства треугольников, возникает следующая зависимость. В данном случае высота \( NQ \) равна длине отрезка, который перпендикулярен основанию \( MQ \) в точке \( Q \).
Для тригонометрических расчетов в треугольнике M:
С учетом угла 45°, получается, что высота также равна длине основания:
\[ NQ = NK = 9 \, \text{мм}. \]
Теперь можем подставить значения в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot MQ \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{мм} \cdot 9 \, \text{мм} = \frac{27}{2} \, \text{мм}^2. \]
Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) равна \( 13.5 \, \text{мм}^2 \).
