Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на отрезки 14 см и 34 см. Найдите площадь трапеции.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции с заданными условиями, рассмотрим следующую информацию.

Обозначим:

• \( AB \) и \( CD \) - основания трапеции, где \( AB \) - верхнее основание, \( CD \) - нижнее основание.
• \( AD \) и \( BC \) - боковые стороны, которые равны (равнобедренная трапеция).
• Обозначим отрезки, на которые высота \( h \), проведенная из вершины тупого угла (точки \( C \) или \( D \)), делит основание \( CD \): \( DM = 34 \, \text{см} \) и \( MC = 14 \, \text{см} \), где \( M \) - проекция вершины на основание.

Таким образом, длина основания: \[ CD = DM + MC = 34 \, \text{см} + 14 \, \text{см} = 48 \, \text{см} \]

Теперь, зная, что острый угол равен 45°, можно провести высоту из основания \( AB \) до основания \( CD \). Это значит, что треугольник \( CMD \) является прямоугольным, и, поскольку острый угол равен 45°, то длина высоты \( h \) равна отрезку, который делит основание \( CD \): \[ h = MC = 14 \, \text{см} \]

Теперь воспользуемся формулой для площади трапеции: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]

Сначала найдем длину верхнего основания \( AB \). Длина участка \( AB \) может быть рассчитана с использованием тригонометрии. Мы знаем, что в треугольнике \( CMD \), где угол \( C = 45^\circ\): \[ AB = CD - 2 \cdot h \] где \( h = 14 \, \text{см} \). Тогда \[ AB = 48 \, \text{см} - 2 \cdot 14 \, \text{см} = 48 \, \text{см} - 28 \, \text{см} = 20 \, \text{см} \]

Теперь подставим значения в формулу для площади: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(20 \, \text{см} + 48 \, \text{см}) \cdot 14 \, \text{см}}{2} \] \[ S = \frac{68 \cdot 14}{2} = \frac{952}{2} = 476 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет \( 476 \, \text{см}^2 \).