3sin2x+2cos2x при sin2x=1/4

Для решения выражения \( 3\sin 2x + 2\cos 2x \) при условии, что \( \sin 2x = \frac{1}{4} \), нам нужно найти значение \( \cos 2x \).

Мы знаем, что синус и косинус связаны следующим соотношением: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \] Подставляя известное значение \( \sin 2x = \frac{1}{4} \), находим \( \cos 2x \): \[ \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \cos^2 2x = 1. \] Это упрощается до: \[ \frac{1}{16} + \cos^2 2x = 1. \] Теперь вычтем \( \frac{1}{16} \) из обоих сторон: \[ \cos^2 2x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}. \] Теперь найдём \( \cos 2x \): \[ \cos 2x = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}. \]

Теперь подставим найденные значения \( \sin 2x \) и \( \cos 2x \) в исходное выражение: \[ 3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\left(\frac{1}{4}\right) + 2\left(\pm \frac{\sqrt{15}}{4}\right). \] Это равняется: \[ \frac{3}{4} \pm \frac{2\sqrt{15}}{4}. \] Упрощая, получаем: \[ \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{15}}{2}. \]

Таким образом, итоговое выражение можно записать как: \[ \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15}}{2} \quad \text{или} \quad \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15}}{2}. \]

Теперь у нас есть два значения для \( 3\sin 2x + 2\cos 2x \): \( \frac{3 + 2\sqrt{15}}{4} \) и \( \frac{3 - 2\sqrt{15}}{4} \).