Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х + 4y = 100?

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), начнем с того, что выразим одну переменную через другую.

Переносим \(3x\) в правую часть:

\[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

Теперь мы должны убедиться, что \(y\) является натуральным числом. Это значит, что \(100 - 3x\) должно быть делимо на \(4\), и, кроме того, \(y\) должно быть положительным.

Для начала найдем, когда \(100 - 3x\) делится на \(4\). Мы можем записать это уравнение в следующем виде:

\[ 100 \equiv 3x \pmod{4} \]

Вычислим \(100 \mod 4\):

\[ 100 \mod 4 = 0 \]

Теперь найдем, каков остаток от \(3x\) при делении на \(4\):

\[ 3x \equiv 0 \pmod{4} \]

Это возможно, когда \(x\) является четным числом, потому что \(3 \equiv 3 \pmod{4}\) и при четном \(x\) мы получаем, что \(3x\) также четно.

Обозначим \(x = 2k\) для некоторого натурального числа \(k\):

\[ 3(2k) + 4y = 100 \] \[ 6k + 4y = 100 \] \[ 4y = 100 - 6k \] \[ y = 25 - \frac{3k}{2} \]

Для того, чтобы \(y\) было натуральным, \(100 - 6k\) должно быть положительным, поэтому:

\[ 100 - 6k > 0 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{100}{6} \quad \Rightarrow \quad k < 16.67 \]

Это значит, что \(k\) может принимать значения от \(1\) до \(16\) (включительно).

Также важно, чтобы \(y\) было натуральным числом:

\[ 25 - \frac{3k}{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3k}{2} < 25 \quad \Rightarrow \quad 3k < 50 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{50}{3} \quad \Rightarrow \quad k < 16.67 \]

Таким образом, возможные значения \(k\) – натуральные числа от \(1\) до \(16\).

Теперь проверим, возможно ли значение \(k\) в четности, чтобы \(\frac{3k}{2}\) также было целым:

\(k\) должно быть четным. Находим четные значения от \(1\) до \(16\): \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\). Это \(8\) значений.

Таким образом, существует \(8\) пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).