Вычислите приделы: lim x->0 2xsin x/1-cos^2*3x lim x->бесконечности (x+4/x+2)^1-2x

Давайте последовательно решим каждую из пределов.

1. Первый предел: \(\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos^2(3x)}\).

Сначала упростим выражение в знаменателе. Мы знаем, что \(1 - \cos^2(3x) = \sin^2(3x)\). Таким образом, предел можно переписать как:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\sin^2(3x)}. \]

Теперь мы можем использовать свойства пределов. Когда \(x\) стремится к нулю, \(\sin x \sim x\), и \(\sin(3x) \sim 3x\). Следовательно, \(\sin^2(3x) \sim (3x)^2 = 9x^2\).

Подставим это в предел:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\sin^2(3x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{9x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{9} = \frac{2}{9}. \]

Таким образом, первый предел равен \(\frac{2}{9}\).

2. Второй предел: \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 2}\right)^{1 - 2x}\).

Для начала упростим дробь:

\[ \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x(1 + \frac{4}{x})}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x}}. \]

Когда \(x\) стремится к бесконечности, это выражение стремится к \(\frac{1 + 0}{1 + 0} = 1\).

Теперь, чтобы разобраться с пределом, нужно понять, что происходит с выражением при \(x \to \infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \right)^{1 - 2x}. \]

С учетом того, что \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \to 1\), мы можем записать это как:

\[ (1)^{1 - 2x} \to 1 \text{ с любой мощностью}. \]

Однако, давайте осмотрим более точно. Используем логарифм для анализа:

\[ \ln L = \lim_{x \to \infty} (1 - 2x) \ln\left(\frac{x + 4}{x + 2}\right). \]

Используя предыдущие рассуждения, \(\ln\left(\frac{x + 4}{x + 2}\right) \approx \ln(1 + \text{малое}) \sim \frac{4 - 2}{x} = \frac{2}{x}\).

Таким образом,

\[ \ln L \sim \lim_{x \to \infty} (1 - 2x) \cdot \frac{2}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 - 4x}{x}\right) = -4. \]

Таким образом, \(L = e^{-4}\).

Итак, второй предел равен \(e^{-4}\).

В заключение, результаты пределов:

1. \(\frac{2}{9}\)
2. \(e^{-4}\)