Каким количеством нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2025?

Чтобы определить, каким количеством нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2025 (то есть находясь находим факториал \(2025!\)), нам нужно выяснить, сколько раз в этом произведении встречается фактор 10.

Поскольку 10 равен 2 × 5, мы можем сказать, что количество нулей будет определяться наименьшим числом между количествами факторов 2 и 5 в разложении факториала. Поскольку фактор 2 встречается чаще, чем фактор 5, мы сосредоточимся на подсчете числа факторов 5.

Для подсчета числа факторов 5 в \(2025!\) используем следующую формулу:

\[ \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{625} \right\rfloor \]

Где \(n = 2025\). Теперь подсчитаем:

1. \(\left\lfloor \frac{2025}{5} \right\rfloor = 405\)
2. \(\left\lfloor \frac{2025}{25} \right\rfloor = 81\)
3. \(\left\lfloor \frac{2025}{125} \right\rfloor = 16\)
4. \(\left\lfloor \frac{2025}{625} \right\rfloor = 3\)

Теперь складываем все найденные значения:

\[ 405 + 81 + 16 + 3 = 505 \]

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 2025 оканчивается на 505 нулей.