Сумма цифр трёхзначного числа 12, причём число десятков равно числу единиц. Если первую и вторую цифры в этом числе поменять местами , то получиться число, которое больше исходного на 270 . Найдите это число

Давайте разберёмся с задачей по шагам.

Имеем трёхзначное число, которое можно представить как \( xyz \), где \( x \) — сотни, \( y \) — десятки, и \( z \) — единицы. Условие задачи говорит, что сумма цифр этого числа равна 12, а также что число десятков равно числу единиц. Это значит, что \( y = z \).

Тогда наше число можно написать как \( xyy \), где \( y \) — это и десятки, и единицы. Теперь мы можем выразить сумму цифр:

\[ x + y + y = x + 2y = 12. \]

Теперь, поскольку \( y = z \), мы можем также выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = 12 - 2y. \]

Следующее условие состоит в том, что если поменять первую и вторую цифры местами, то получится новое число, которое больше исходного на 270. Обозначим новое число:

\[ \text{Новое число} = yxy = 100y + 10x + y = 101y + 10x. \]

Исходное число равно \( 100x + 10y + y = 100x + 11y \).

По условию задачи:

\[ 101y + 10x = 100x + 11y + 270. \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ 101y + 10x - 100x - 11y = 270, \] \[ 90y - 90x = 270, \] \[ y - x = 3. \]

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. \( x + 2y = 12 \)
2. \( y - x = 3 \)

Подставим второе уравнение в первое. Из второго уравнения выражаем \( y \):

\[ y = x + 3. \]

Подставляем это в первое уравнение:

\[ x + 2(x + 3) = 12, \] \[ x + 2x + 6 = 12, \] \[ 3x + 6 = 12, \] \[ 3x = 6, \] \[ x = 2. \]

Теперь найдём \( y \):

\[ y = 2 + 3 = 5. \]

Теперь, когда у нас есть \( x \) и \( y \), можем получить три цифры:

• \( x = 2 \) (сотни),
• \( y = 5 \) (десятки и единицы).

Таким образом, число \( xyz \) будет равно \( 255 \).

Проверим выполнение условий:

1. Сумма цифр: \( 2 + 5 + 5 = 12 \).
2. Первые две цифры меняем местами: \( 525 \).
3. Проверка разности: \( 525 - 255 = 270 \).

Всё выполнено, и искомое число — это 255.