Чтобы разобраться, что пишется слитно, а что раздельно, давайте проанализируем ваши примеры. Слитное или раздельное написание зависит от значений и грамматических особенностей сочетаний слов.
Не давая опомниться – написано слитно, потому что "не" здесь служит в роли частицы, придающей значению глагола.
Не уронив своего достоинства – также слитно.
Не скрывая истинных причин – написано слитно.
Не давая обещаний – снова слитно.
Не навидя трусость – слитно. (Обратите внимание, здесь правильнее использовать "не ненавидя," так как "навидеть" не является стандартной формой русского языка.)
Не глядя по сторонам – слитно.
Работает не торопясь – раздельно, так как здесь "не" относится к наречию "торопясь" и пишется раздельно.
Не покладая рук – слитно.
Не доиграв партии – слитно.
Смотрел не доумевая – раздельно, так как здесь "не" относится к наречию "доумевая."
Совсем не растерявшись – слитно, так как "не" здесь является частью отрицания.
Исходя из этого, в большинстве случаев, когда "не" является частью глагола или причастия, оно пишется слитно. А если "не" влияет на наречие или прилагательное, то, как правило, пишется раздельно. Надеюсь, это поможет вам лучше понимать правила написания!
