17. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание. Ответ: 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета. Ответ: 19. Какое из следующих утверждений верно? 1) Любые два равносторонних треугольника подобны. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. В ответ запишите номер выбранного утверждения. Ответ: Часть 2. 20. Решите уравнение (x+9)* +5(x+9)2 -24=0. 21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 14 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него. 2,52 Определите, при 22. Постройте график функции у5 2,5 каких значениях т прямая у-т имеет с графиком ровно одну общую точку. 23. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 62° и 88°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 27. 24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BС выбрали произвольную точку Т. Докажите, что сумма площадей треугольников ВТС и ATD равна половине площади трапеции. 25. В треугольнике АВС биссектриса ВE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 72. Найдите стороны треугольника АВС.

17. В равнобедренной трапеции обозначим меньшее основание как \( a \), большее основание — как \( b \), высоту — как \( h \), а угол при основании — как \( \alpha \). Поскольку трапеция равнобедренная, высота опускается на малое основание, создавая два прямоугольных треугольника. Используя тригонометрию, можем выразить \( b \) через \( a \) и \( h \):

\[ h = a \cdot \tan(\alpha) \]

Рассмотрим основание, используя теорему Пифагора. Длину большей стороны можно выразить через меньшее основание:

\[ b = a + 2h \cdot \cot(\alpha) \]

Теперь подставим \( h \):

\[ b = a + 2 \cdot a \cdot \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = a + 2h = a + 2 \cdot (h / \tan(\alpha)) \]

Таким образом, зная высоту, меньшее основание и угол, мы можем выразить большее основание.

18. Для нахождения длины большего катета прямоугольного треугольника нам нужно знать длины меньшего катета и гипотенузы. Пусть меньший катет равен \( a \), а гипотенуза равна \( c \). Для нахождения большего катета используем теорему Пифагора:

\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]

Где \( b \) — это искомый больший катет. Подставьте известные значения и получите длину большего катета.

19. Верно первое утверждение: 1) Любые два равносторонних треугольника подобны. Это связано с тем, что все углы равностороннего треугольника равны по 60°, а значит, треугольники являются подобными. Другие утверждения неверны: средняя линия трапеции равна средней арифметической оснований, а параллелограмм с равными диагоналями может быть прямоугольником, но не обязательно ромбом.

20. Решим уравнение:

\[ (x + 9)^2 + 5(x + 9)^2 - 24 = 0 \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ 6(x + 9)^2 - 24 = 0 \]

Добавим 24 к обеим частям и разделим на 6:

\[ (x + 9)^2 = 4 \]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[ x + 9 = 2 \quad \text{или} \quad x + 9 = -2 \]

Следовательно:

\[ x = -7 \quad \text{или} \quad x = -11 \]

21. Давайте найдем скорость теплохода \( V \) в неподвижной воде. По условию, скорость течения равна 5 км/ч. Обозначим время в пути по течению как \( t_1 \), а против течения как \( t_2 \).

Пусть \( d = 140 \) км. Скорость теплохода по течению:

\[ V + 5 \text{ км/ч} \]

Скорость теплохода против течения:

\[ V - 5 \text{ км/ч} \]

Первый путь до пункта назначения:

\[ t_1 = \frac{140}{V + 5} \]

Время в пути обратно:

\[ t_2 = \frac{140}{V - 5} \]

Общее время:

\[ t_1 + t_2 + 14 = 35 \]

Подставляем:

\[ \frac{140}{V + 5} + \frac{140}{V - 5} + 14 = 35 \]

Решите это уравнение на \( V \).

22. Чтобы найти, при каких значениях \( t \) прямая \( y - t \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = 5x^2 + 2.5 \), необходимо решить уравнение:

\[ 5x^2 + 2.5 - t = 0 \]

Для этого нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:

\[ D = 0 \Rightarrow 0 = (0)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (2.5 - t) = 0 \]

Решив это уравнение, вы найдете значение \( t \), требуемое для одной общей точки.

23. Для нахождения стороны \( BC \) используем закон синусов. Углы треугольника равны \( 62° \) и \( 88° \), значит угол \( A \) равен:

\[ A = 180° - 62° - 88° = 30° \]

Согласно закону синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \]

Подставим известные значения:

\[ BC = 2R \cdot \sin(30°) \] \[ BC = 27 \cdot 1 = 27 \text{ (так как } \sin(30°) = \frac{1}{2} \text{)} \]

24. Рассмотрим площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot h \), где \( h \) - высота. В треугольниках \( BTC \) и \( ATD \) высота будет такой же. Так как \( T \) находится на средней линии, площади треугольников равны:

\( S_{BTC} + S_{ATD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \)

Что и требовалось доказать.

25. Последнее условие задачи об использовании теорем о биссектрисе и медиане можно выразить следующим образом:

Пусть стороны треугольника \( BC = a \), \( AC = b \), и \( AB = c \). Поскольку \( BE \) и \( AD \) перпендикулярны и имеют одинаковую длину 72, используем теорему о биссектрисе и медиане для получения сторон:

\[ \frac{2[c^2 + b^2]}{a^2} = 2 \cdot AD^2 + 2 \cdot BE^2 \]

Решив эту систему, можно найти длины сторон треугольника \( ABC \).