Nº3. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки О и О1 — центры граней ABCD и А 1В1С1 соответственно, точка М — середина ребра АВ. а) Определите взаимное расположение плоскостей: 1. MOO, и ADD1 2.…

Чтобы проанализировать взаимное расположение указанных плоскостей в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с координат вершин куба. Предположим, что куб имеет длину ребра 1 и расположен в пространстве следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 1) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( C_1(1, 1, 1) \)
• \( D_1(0, 1, 1) \)

Теперь найдем координаты точек \( O \), \( O_1 \) и \( M \):

• Точка \( O \) — центр грани \( ABCD \), и ее координаты будут: \[ O\left(\frac{0 + 1 + 1 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4}, 0\right) = O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]

• Точка \( O_1 \) — центр грани \( A_1B_1C_1D_1 \): \[ O_1\left(\frac{0 + 1 + 1 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4}, 1\right) = O_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \]

• Точка \( M \) — середина ребра \( AB \): \[ M\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}, 0\right) = M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \]

Теперь будем определять взаимное расположение плоскостей.

1. Плоскости \( MOO \) и \( ADD_1 \)

Плоскость \( MOO \):

Для определения плоскости \( MOO \), нужно взять векторы, которые определяют её. Векторы из точек \( M \) в \( O \) и \( O \):

• \( \vec{MO} = O - M = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \)
• \( \vec{MO_1} = O_1 - M = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right) \)

Теперь можно найти нормальный вектор плоскости \( MOO \) путем взятия векторного произведения векторов \( \vec{MO} \) и \( \vec{MO_1} \):

\[ \vec{n_{MOO}} = \vec{MO} \times \vec{MO_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \]

Таким образом, нормальный вектор плоскости \( MOO \) направлен вдоль оси \( x \).

Плоскость \( ADD_1 \):

Плоскость \( ADD_1 \) проходит через точки \( A(0,0,0) \), \( D(0,1,0) \), и \( D_1(0,1,1) \). Эта плоскость будет вертикальной плоскостью, параллельной оси \( y \) и \( z \).

Исходя из этого, можно заметить, что плоскости \( MOO \) и \( ADD_1 \) являются перпендикулярными, так как одна вертикальная, а другая горизонтальная (параллельная оси y и z).

2. Плоскости \( ABD \) и \( CC_1O_1 \)

Плоскость \( ABD \):

Для плоскости \( ABD \) можно взять точки \( A(0,0,0) \), \( B(1,0,0) \) и \( D(0,1,0) \). Нормальный вектор плоскости можно найти, используя векторы:

• \( \vec{AB} = B - A = (1, 0, 0) \)
• \( \vec{AD} = D - A = (0, 1, 0) \)

Нормальный вектор плоскости \( ABD \): \[ \vec{n_{ABD}} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \]

Плоскость \( CC_1O_1 \):

Для плоскости \( CC_1O_1 \) берем точки \( C(1,1,0) \), \( C_1(1,1,1) \), и \( O_1(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) \):

• \( \vec{CC_1} = C_1 - C = (0, 0, 1) \)
• \( \vec{CO_1} = O_1 - C = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right) \)

Нормальный вектор плоскости \( CC_1O_1 \): \[ \vec{n_{CC_1O_1}} = \vec{CC_1} \times \vec{CO_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j} \]

Заключение:

1. Плоскости \( MOO \) и \( ADD_1 \) перпендикулярны.
2. Плоскости \( ABD \) и \( CC_1O_1 \) не пересекаются, так как нормальный вектор первой плоскости перпендикулярен нормальному вектору второй плоскости, т.е. плоскости параллельны.

Это заключение справедливо для рассматриваемого куба.