ydx+xdy=0

Чтобы решить уравнение \( ydx + xdy = 0 \), можно воспользоваться методом разделения переменных. Первоначально упростим уравнение, разделив обе стороны на \( xy \), если \( x \) и \( y \) не равны нулю.

Перепишем уравнение:

\[ ydx + xdy = 0 \]

или

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \]

Теперь мы можем разделить переменные:

\[ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x} \]

Теперь интегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{1}{y} dy = \int -\frac{1}{x} dx \]

Это дает:

\[ \ln |y| = -\ln |x| + C \]

где \( C \) — константа интегрирования. Применяем свойства логарифмов:

\[ \ln |y| + \ln |x| = C \]

Следовательно:

\[ \ln |xy| = C \]

Преобразуем это уравнение и избавляемся от логарифмов, возведя обе стороны в степень:

\[ |xy| = e^C \]

Обозначим \( k = e^C \), тогда получаем:

\[ xy = k \]

Это и есть общее решение уравнения. Если у вас есть вопросы по отдельным шагам или нужно больше информации, пожалуйста, дайте знать!