y=√x²-5x+6
Чтобы исследовать функцию \( y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \), начнем с того, что под корнем должно быть неотрицательное число, так как квадратный корень из отрицательного значения не существует в области действительных чисел.
Определим область определения функции. Условие неотрицательности выглядит следующим образом:
\[ x^2 - 5x + 6 \geq 0 \]
Для решения этого неравенства, сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Корни уравнения будут:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
Теперь у нас есть корни \( x = 2 \) и \( x = 3 \). Соответственно, мы можем проанализировать промежутки, чтобы определить, где выражение неотрицательно:
- Для \( x < 2 \), подставим, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \geq 0 \]
- Для \( 2 < x < 3 \), подставим, например, \( x = 2.5 \): \[ (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 \]
- Для \( x > 3 \), подставим, например, \( x = 4 \): \[ 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \geq 0 \]
Таким образом, функция определена для интервалов \( (-\infty, 2] \) и \( [3, +\infty) \).
Найдем значения функции. На каждом из найденных интервалов функция будет давать положительные значения или ноль:
- В точках \( x = 2 \) и \( x = 3 \): \[ y(2) = \sqrt{2^2 - 5 \cdot 2 + 6} = \sqrt{0} = 0 \] \[ y(3) = \sqrt{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \sqrt{0} = 0 \]
Таким образом, функция \( y = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \) имеет область определения \( (-\infty, 2] \) и \( [3, +\infty) \) с значениями, равными нулю в точках \( x = 2 \) и \( x = 3 \).
