Найдите область определения функции : y=1/(4x^2-3x-1)

Чтобы найти область определения функции \( y = \frac{1}{4x^2 - 3x - 1} \), нам нужно определить, при каких значениях \( x \) знаменатель не равен нулю, так как функция определена только тогда, когда знаменатель не равен нулю.

1. Найдем корни уравнения \( 4x^2 - 3x - 1 = 0 \). Используем квадратную формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 4 \), \( b = -3 \), \( c = -1 \).

   Подставим значения: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \]

   Рассчитаем дискриминант: \[ (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \]

   Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8} \] Это приводит к двум корням: \[ x_1 = \frac{8}{8} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]

2. Теперь определим область определения функции. Функция не определена в точках \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{4} \). Это значит, что область определения функции будет включать все значения \( x \), кроме этих двух точек.

Таким образом, область определения функции можно записать в виде: \[ D: x \in \mathbb{R}, \; x \neq 1 \; \text{и} \; x \neq -\frac{1}{4} \] Или в интервалах: \[ D = (-\infty, -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}, 1) \cup (1, +\infty) \]

Такая запись показывает, что функция определена для всех действительных чисел, кроме \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{4} \).