Найдите сумму натуральных значений переменной x, удовлетворяющей неравенств у 5 |2|x-5|-x-2|>=7x
Для решения неравенства \( |2|x-5|-x-2| \geq 7x \), начнем с упрощения выражения.
Первый шаг — разобраться с внутренним модулем. Рассмотрим \( |x - 5| \):
- Если \( x \geq 5 \), то \( |x - 5| = x - 5 \).
- Если \( x < 5 \), то \( |x - 5| = 5 - x \).
Рассмотрим разные случаи в зависимости от значения \( x \).
Случай 1: \( x \geq 5 \)
В этом случае \( |x - 5| = x - 5 \): \[ |2|x - 5| - x - 2| = |2(x - 5) - x - 2| = |2x - 10 - x - 2| = |x - 12| \] Итак, неравенство принимает вид: \[ |x - 12| \geq 7x \] Теперь рассмотрим два подслучая:
Если \( x - 12 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 12 \)): \[ x - 12 \geq 7x \implies -6x \geq 12 \implies x \leq -2 \] Так как \( x \geq 12 \), это не имеет решений.
Если \( x - 12 < 0 \) (т.е. \( x < 12 \)): \[ 12 - x \geq 7x \implies 12 \geq 8x \implies x \leq \frac{12}{8} = 1.5 \] Это также не имеет решений при \( x \geq 5 \).
Случай 2: \( x < 5 \)
В этом случае \( |x - 5| = 5 - x \): \[ |2(5 - x) - x - 2| = |10 - 2x - x - 2| = |8 - 3x| \] Неравенство принимает вид: \[ |8 - 3x| \geq 7x \] Рассматриваем два подслучая:
Если \( 8 - 3x \geq 0 \) (т.е. \( x \leq \frac{8}{3} \)): \[ 8 - 3x \geq 7x \implies 8 \geq 10x \implies x \leq \frac{8}{10} = 0.8 \] Поэтому в этом случае \( x \) должно быть удовлетворено как \( x < 5 \) и \( x \leq 0.8\), так что \( x \) может принимать значение \( 1 \) или \( 2 \).
Если \( 8 - 3x < 0 \) (т.е. \( x > \frac{8}{3} \)): \[ 3x - 8 \geq 7x \implies -4x \geq -8 \implies x \leq 2 \] Однако \( x > \frac{8}{3} \) уже требует \( x \) быть больше \( 2.67 \), что приводит к противоречию.
Теперь соберем натуральные значения \( x \), которые удовлетворяют неравенству. Это \( x = 1, 2 \).
- Найдём сумму натуральных значений: \[ 1 + 2 = 3 \]
Итак, сумма натуральных значений переменной \( x \), удовлетворяющей данному неравенству, равна 3.
